一維逆時熱傳導問題的數(shù)值解.pdf

1、在很多工程應用領(lǐng)域里，人們常常會遇到熱傳導方程的逆時問題．所謂逆時問題就是由某一時刻的溫度場來求該時刻以前的溫度分布。由于該問題是不適定的，求解此問題就需要利用正則化方法來求解。處理該問題的一個常用到的方法就是把原問題轉(zhuǎn)化為求解第一類線性積分方程的問題，再利用正則化方法求解來解此方程。
　　 本文考慮熱傳導模型對應的逆時問題的數(shù)值求解。由于正向熱傳導問題的溫度場是隨時間呈現(xiàn)指數(shù)形式衰減的，因此要使逆時熱傳導問題能得到穩(wěn)定和收斂的

2、解，必須對初始溫度函數(shù)u(x，0)附加某些先驗條件。
　　 本文研究了兩類問題：一是當系數(shù)a(x)為常系數(shù)時如何求解初始溫度g(x)．對此問題我們把正則化方程轉(zhuǎn)化為相對應的弱耦合方程組，再用一種線性分裂的迭代的形式來數(shù)值求解，而不是用常規(guī)的方法直接求解。而對方程中的正則化參數(shù)，本文則利用近年來發(fā)展起來的模型函數(shù)法方法來近似求解Morozve方程，以數(shù)值近似求解正則化參數(shù)。同時我們還分析了初始溫度g(x)滿足什么樣的先驗條件才可以

3、得到解的收斂速度的估計，本文的第四章給出了相應的數(shù)值算例，取得了令人滿意的數(shù)值結(jié)果。我們的數(shù)值結(jié)果表明，借助適當?shù)倪x取正則化參數(shù)，即使初始溫度場的震蕩性和光滑性較弱，也能獲得相對較好的重組結(jié)果，同時也驗證了用迭代的形式求解的有效性。
　　 二是考慮a(x)是變系數(shù)的情形，初始溫度g(x)的反演方案。在將此問題轉(zhuǎn)化為第一類線性積分方程時，我們面臨的一個問題就是如何給出積分核的顯式形式。一般而言該函數(shù)只能通過數(shù)值方法求解。本文提出了

4、一種確定核函數(shù)的級數(shù)展開法，為數(shù)值反演提供了理論基礎(chǔ)。
　　 本文的工作總共分成四部分。首先介紹了逆時問題的背景，并將此問題歸結(jié)于第一類算子方程的求解．其次，針對常系數(shù)熱傳導問題，根據(jù)其不適定性，利用Tikhonov正則化方法來求解（在求解過程中采用把正則化方程轉(zhuǎn)化為對應的弱耦合方程組，進而利用迭代格式求解此方程組），而其中的正則化參數(shù)α是利用模型函數(shù)的方法來求解相容性原理后驗確定的．該方法可以以很高的精度確定正則化參數(shù)，這是近