受極大子群影響的群的若干基本性質.pdf

1、本文主要通過對含極大子群為單群的群的研究，探討了群的單性．另外，也通過群的某些特殊極大子群對群的可解性作了一些研究．值得說明的是，我們這里并不限定群的有限性．主要結論如下： 關于群的單性的結論定理3．1設群G的任-極大子群都是單群，若G中存在一個非正規(guī)極大子群滿足性質，那么G是單群．(我們稱群G滿足性質是指存在XG，使得G=)，且存在x<,0>∈X，使得1≠)≠G.)定理3．2設G為有限生成群，如果群G的任

2、-極大子群都是非正規(guī)的單群，那么G是單群． 定理3．3設群G的極大子群都非正規(guī)，且極大子群要么為單群要么為冪零群，并且兩者都存在，如果其中有一個冪零極大子群為有限群，那么G為單群． 定理3．4設群G的極大子群都非正規(guī)，且極大子群要么為單群要么為冪零群，如果其中有一個冪零極大子群為有限生成群、有一個單極大子群為周期群，那么G為單群． 定理3．5設群G的極大子群都非正規(guī)，且極大子群妥么為單群要么為冪零群，如果其中有一

3、個冪零極大子群M和一個單極大子群R使得R ∩ M per M，那么G為單群． 推論3．3群G的每一個極大子群都是素數(shù)階群的充要條件是G為Tarski群或pq階群(允許p=q)．定理3．6H是群G的非正規(guī)單極大子群，如果H中存在非平凡的元素h<,1>，h<,2>在G中共軛但在H中不共軛，那么G為單群． 定理3．7H是群G的單極大子群且H非正規(guī)，如果｜G:H｜≤mini{｜g<'G>｜≠g∈G}，那么G是單群． 關于

4、群的可解性的結論定理4．1．設G恰有n個極大子群且都是G的正規(guī)子群，那么G只能是有限群，當然G為冪零群． 定理4．2群G=，g<,2>，…，g<,n>>，那么群G的極大子群均正規(guī)且對每個g<,i>而言與其在G中共軛的元在其所在的極大子群中也共軛的充要條件是G為Abel群． 定理4．3若群G是有限生成的，且群G的每個極大子群均可解，則G可解的充分必要條件是： 1) G僅有一個極大子群；或者2)Frat(G)不是