約束在彎曲曲面上運動的粒子動量和動能算符.pdf

1、約束在量子點上的量子運動是目前凝聚態(tài)物理研究的一個熱點。一個很有意思的問題是量子點的幾何形狀，除了典型的球形和橢球形外，還有面包圈和M?bius環(huán)等形狀。這些研究提出了一個基礎性的研究課題：在經(jīng)典力學中，對約束在曲面上粒子運動的描述可以在內部坐標即曲面局部坐標下進行，也可以在外部坐標即在笛卡爾坐標下進行。在微分幾何中，對曲面的研究可以利用內稟(intrinsic)幾何和外部(extrinsic)幾何這兩種互補也是基本的基本方法進行。但是

2、量子力學的傳統(tǒng)(其實也是整個現(xiàn)代物理例如廣義相對論和規(guī)范場的研究傳統(tǒng))是只用內部坐標即曲面局部坐標，或者說從內稟的角度，對運動進行描述。那么是否可以也從三維笛卡爾坐標下進行？ 這個問題的數(shù)學表述如下：對于一個二維正則曲面，需兩個參量來對曲面進行曲面化(例如 )，這樣，曲面方程就是：此時的厄密動量算符稱為笛卡爾動量算符。它和曲面上的正則動量完全不同。這一正則動量一般來說不是有界算符(例如徑向動量 )，而且由于坐標系的轉換而改變，一

3、直受到數(shù)學物理界的責難。 從2003年已經(jīng)開始，我們開始研究笛卡爾動量算符。在有關研究的基礎上，本論文證明了笛卡爾動量算符具有如下形式，，其中是一個幾何不變量，稱為平均曲率矢量場。這是一個不隨坐標系的轉換而改變的量。 進一步，體系Hamilton量似應為，。其實這是不行的，正確的哈密頓應為，或：，或：，其中為的非平凡函數(shù)。這是一類新的算符次序問題。本文還給出了這些函數(shù)滿足的微分方程，并在一些具體例子中給出了方程的解。