非標準分析方法在一致拓撲空間中的若干應用.pdf

1、在拓撲學這個數(shù)學領(lǐng)域里,一致空間是指帶有一致結(jié)構(gòu)的集合,是一種特殊的拓撲空間,可以用來定義很多一致性質(zhì)的結(jié)構(gòu)。一致空間與拓撲空間和度量空間存在密切的聯(lián)系,因此一致空間成為聯(lián)系拓撲空間和度量空間的重要紐帶。本論文通過非標準分析的方法對一致空間進行了研究,結(jié)論如下。
　　(1)借助格集的定義,刻畫了一致空間上函數(shù)的一致收斂,證明了如果函數(shù)序列 fn一致收斂于f,且每個函數(shù)在一致空間上連續(xù),則 f在一致空間上也連續(xù)。
　　(2)定

2、義了一致空間上函數(shù)的U?微連續(xù)性、U?等度連續(xù)性、rs?連續(xù)性及U?*?連續(xù)性;給出了用格集來刻畫U?微連續(xù)性的等價命題;證明了f為一致連續(xù)當且僅當f為U?微連續(xù),{|}nf n?N?為U?等度連續(xù)當且僅當fn是U?微連續(xù)及 f是rs?連續(xù)的,則f是U?微連續(xù)的等上述四種非標準連續(xù)性之間的關(guān)系。
　　(3)通過緊一致空間的非標準刻畫,證明了如果 f在緊一致空間上是連續(xù)的,則是一致連續(xù)的,在緊一致空間上{|}nfn?N?一致收斂于

3、f當且僅當{|}nfn?N?是U?等度連續(xù)的。并利用U?微連續(xù)的概念及內(nèi)函數(shù)定理,證明了一致空間上函數(shù)的逼近定理;進一步討論了一致空間上緊映射的性質(zhì);為以后研究一致空間奠定了基礎(chǔ)。
　　(4)證明了Cauchy濾子與一致結(jié)構(gòu)單子之間的關(guān)系;對Cauchy網(wǎng)的聚點進行了非標準刻畫。并利用非標準分析的方法刻畫了Cauchy網(wǎng)收斂,證明了若Cauchy網(wǎng)收斂當且僅當Cauchy網(wǎng)存在一個聚點,更進一步的證明了一致空間完備當且僅當一致空間