非線性拋物微分方程插值系數(shù)有限元法的研究和應(yīng)用.pdf

1、非線性拋物微分方程是數(shù)學(xué)物理學(xué)科中一類重要的偏微分方程，比如反應(yīng)擴(kuò)散方程，非線性Schr(o)dinger方程等都屬于這一類型。此類方程的解析解是很難求得的，而實(shí)際問題中的應(yīng)用又是相當(dāng)?shù)膹V泛，因此借助于數(shù)值方法來求它的近似解具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。又由于方程的非線性性質(zhì)，導(dǎo)致解對(duì)初值是非常敏感的，數(shù)值計(jì)算結(jié)果也就不容易得到。本文首先對(duì)這一類型的偏微分方程，根據(jù)方程的非線性性質(zhì)，將插值系數(shù)的思想用于時(shí)空有限元方法中，與只用時(shí)空有限元法處理

2、非線性問題相比，插值系數(shù)時(shí)空有限元法更加經(jīng)濟(jì)和有效。其原理就是在時(shí)間和空間兩個(gè)方向上，同時(shí)選取適當(dāng)?shù)目臻g有限元離散和時(shí)間有限元離散，然后對(duì)方程的非線性項(xiàng)用插值多項(xiàng)式來處理，達(dá)到減少計(jì)算存儲(chǔ)和節(jié)省計(jì)算時(shí)間的目的。然后具體討論了復(fù)空間上的非線性Schr(o)dinger偏微分方程的適定性問題。
　　本文主要結(jié)果包括以下4個(gè)方面:
　　1.利用Sobolev空間中的理論，逼近的插值多項(xiàng)式的性質(zhì)和Brower不動(dòng)點(diǎn)定理證明了插值系數(shù)

3、時(shí)空有限元解的存在性，進(jìn)而推導(dǎo)出非線性拋物問題變分方程弱解的存在性和唯一性。
　　2.利用單元正交逼近，龐加萊不等式和逆不等式相結(jié)合的技巧證明了非線性拋物微分方程插值系數(shù)時(shí)空有限元解與精確解之間的時(shí)間最大模，空間L2模，即L∞(L2)模的誤差估計(jì)式。
　　3.應(yīng)用上述研究結(jié)果，討論非線性Schr(o)dinger方程的適定性問題，取得了相應(yīng)的理論結(jié)果。
　　4.最后本文通過給出具體的數(shù)值例子驗(yàn)證了非線性Schr(o)d