2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、本文研究幾類Schr(o)dinger型非線性偏微分方程和方程組初值問題在Sobolev空間中的適定性.這些方程和方程組皆來源于現(xiàn)代物理學(xué)的一些領(lǐng)域.全文共分四章. 在第一章,我們研究二維情形的經(jīng)典非線性Schr(o)dinger方程iut+△u=|u|2mu(x∈R2,t∈R)的初值問題在Sobolev空間Hs(R2)中的整體適定性,其中m為正整數(shù),且m≥2.我們應(yīng)用高低頻分解方法,證明了當(dāng)10m-6/10m-5<s<1時(shí),上

2、述方程的初值問題在空間Hs(R2)中整體適定,且解可以分解為u(t)=eit△ψ+y(t),其中y∈C(R,H1(R2)),且‖y(t)‖H1≤(1+|t|)2(1-s)/(10m-5)s-(10m-6)+ε(ε為任意充分小的正數(shù)). 在第二章,我們研究各向同性的高階非線性Schr(o)dinger方程.首先考慮四階非線性Schr(o)dinger方程iut+λ△u+μ△2u+f(u)=0(x∈Rn,t∈R),其中λ和μ為實(shí)數(shù),

3、μ≠0,f(u)為滿足條件A的非線性復(fù)值函數(shù).這里條件A:f∈Cm(C,C),其中m為整數(shù),m>n/2,且存在α>0使得|f(k)(u)|≤C|u|α+1-k,k=0,1,…,m.我們考慮了f滿足條件A時(shí)該方程的初值問題在空間Hs(Rn)中的局部適定性,其中s≥max(0,n/2(1-8/nα)).然后用所得局部適定性結(jié)果和方程的守恒律,給出了L2解和H2解的整體存在性.特別地,我們證明了n=1,2,3以及k≥2時(shí)所對(duì)應(yīng)的初值問題在空間

4、C(R,Hk(Rn))∩C1(R,Hk-2(Rn))中存在唯一的古典解. 在此基礎(chǔ)上,我們考慮了一般的高階非線性Schr(o)dinger方程ut=iP(D)u+f(u)(x∈Rn,t∈R),其中P(D)為m階的齊次橢圓算子.f(u)為非線性復(fù)值函數(shù).當(dāng)∑={ξ∈Rn||P(ξ)|=1}為凸曲面,f滿足條件A時(shí),我們建立了上述方程初值問題在空間Hs(Rn)中的局部適定性,其中s≥max(0,n/2(1-2m/nα)).

5、在第二章的最后,我們研究了帶位勢的高階線性Schr(o)dinger方程ut=iP(D)u+V(x,t)u(x∈Rn,t∈R),其中P(D)為m階的齊次橢圓算子,V(x,t)為實(shí)的勢函數(shù).當(dāng)V(x,t)滿足一定條件時(shí),我們給出了該方程的初值問題在L2(Rn)和Hm(Rn)空間中的局部適定性. 在第三章,我們考慮兩類各向異性的高階非線性Schr(o)dinger方程.第一類是空間變量為二維的六階方程iut+△u+aux1x1x1x

6、1+bux1x1x1x1x1x1+|u|αu=0((x1,x2)∈R2,t∈R),其中a和b是不同時(shí)等于零的實(shí)數(shù),α為正常數(shù).我們的結(jié)論為:(1)當(dāng)s≥max(0,1-α*/α)時(shí),上述方程的初值問題在Hs(R2)空間中局部適定,其中,如果b≠0,則α*=3;如果b=0,但a≠0,則α*=8/3.(2)當(dāng)α≥α*,s≥1-α*/α?xí)r,對(duì)于小初值,該方程的初值問題在Hs(R2)空間中幾乎整體適定.(3)當(dāng)α<α*時(shí),該方程的初值問題在L2

7、(R2)空間中整體適定.(4)當(dāng)5b>3amax{a,0},α>3,s≥1-3/α或b=0,a<0α>8/3,s≥1-8/3α?xí)r,對(duì)于小初值,該方程的初值問題在Hs(R2)空間中整體適定. 研究的第二類方程是空間變量為高維的四階方程iut+△u+|u|αu+a∑di=1uxixixi=0(x∈Rn,t∈R,1≤d<n),我們不僅證明了這個(gè)方程初值問題在空間Hs(Rn)中的適定性,其中s≥max(0,n/2(1-(2n-8d)α)

8、),而且還給出了在各向異性的W2,12(Rn)空間中的適定性. 在最后一章,我們研究了下列耦合的非線性Schr(o)dinger方程組{iut+△u=a|u|αu+|v|αu,x∈R,t∈R,ivt+△v=|u|αv+a|v|αv,x∈R,t∈R,證明了上述方程組初值問題在空間Hs(R)×Hs(R)中的局部適定性,其中s≥max(0,α-4/2α),在此基礎(chǔ)上,我們證明了a≥-1,α=2時(shí)在H1(R)×H1(R)空間中的整體適定

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