耦合時(shí)滯系統(tǒng)的分支動(dòng)力學(xué)研究.pdf

1、耦合系統(tǒng)廣泛存在于許多科學(xué)領(lǐng)域,具有重要的實(shí)際意義。耦合的存在增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性,使得系統(tǒng)能夠產(chǎn)生更為豐富、更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。對于耦合系統(tǒng)的研究主要集中于討論系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為及其控制和同步,而這些研究都要以非線性動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論為基礎(chǔ)。利用Lyapunov穩(wěn)定性理論可以得到耦合系統(tǒng)振幅死亡發(fā)生的條件,系統(tǒng)各種形式同步解的存在條件等。而在振幅死亡的邊界,系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為,通過對分支現(xiàn)象的討論,我們可以得到向量場中各種不同的拓

2、撲結(jié)構(gòu)。
　　本文運(yùn)用特征值方法、中心流形定理、規(guī)范型方法、全局分支定理以及對稱Hopf分支定理等理論和方法對耦合時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性、全局Hopf分支、周期解的存在性以及時(shí)空模式、Bogdanov-Takens和雙Hopf等高余維分支進(jìn)行了研究。具體內(nèi)容可分為下面幾個(gè)部分:
　　1.以時(shí)滯為參數(shù),通過對耦合時(shí)滯系統(tǒng)平衡點(diǎn)處的特征方程和分支規(guī)范型的分析,得到了平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定區(qū)域和發(fā)生Hopf分支的條件以及分支方向和分支周期

3、解的軌道漸近穩(wěn)定性條件。對系統(tǒng)在所討論平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化,給出其對應(yīng)的超越特征方程特征值的分布情況,利用Wei和Ruan給出的理論結(jié)果結(jié)合Routh-Hurwitz判別法得到了線性耦合的Mackey-Glass等系統(tǒng)相應(yīng)不動(dòng)點(diǎn)的局部穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性發(fā)生變化時(shí),系統(tǒng)會(huì)經(jīng)歷分支。對上述幾類耦合系統(tǒng),仍然以時(shí)滯為參數(shù)研究了一類余維-1分支,即給出了Hopf分支的存在性;進(jìn)一步,利用Hale的中心流形定理,Hassard等人的規(guī)范型

4、方法以及Wei提出的計(jì)算時(shí)滯微分方程規(guī)范型的算法,給出了Hopf分支的性質(zhì)。
　　2.利用全局 Hopf分支定理和高維 Bendixson準(zhǔn)則證明了線性耦合的Mackey-Glass系統(tǒng)Hopf分支的全局存在性。Wu建立的全局Hopf分支定理表明如果一個(gè)孤立中心處連通分支是無界的,利用Li和Muldowney給出的高維常微分方程組的Bendixson準(zhǔn)則,可以證明相應(yīng)的周期解及其周期都是有界的,那么對應(yīng)的分支參數(shù)必須是無界的。這樣

5、就得到了全局Hopf分支。
　　3.對于一些具有對稱結(jié)構(gòu)的耦合系統(tǒng),得到了其對稱Hopf分支的存在性,分支周期解的同步、反相同步、鎖相、鏡面反射、駐波等時(shí)空模式及其穩(wěn)定性和分支方向。以時(shí)滯耦合的FitzHugh-Nagumo神經(jīng)系統(tǒng)和時(shí)滯復(fù)振子網(wǎng)絡(luò)為研究對象,利用Wu,Guo和Lamb發(fā)展的時(shí)滯微分方程的廣義對稱Hopf分支定理,詳細(xì)展示了對稱Hopf分支周期解的同步和反相同步等時(shí)空模式。特別是得到了時(shí)滯復(fù)振子網(wǎng)絡(luò)鎖相波、駐波和鏡

6、面反射波的共存性;結(jié)合Faria關(guān)于泛函微分方程中心流形和規(guī)范型的計(jì)算方法以及Golubitsky等人在專著中給出的常微分方程對稱Hopf分支周期解性質(zhì)的結(jié)論,進(jìn)一步得出了上述各種形式周期解的穩(wěn)定性和分支方向。
　　4.給出了兩類高余維分支的存在性條件及分支導(dǎo)致的局部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化,發(fā)現(xiàn)了系統(tǒng)極限環(huán)、同宿軌以及三維環(huán)面的存在性。主要涉及到時(shí)滯耦合的FitzHugh-Nagumo神經(jīng)系統(tǒng)的Bogdanov-Takens分支以及時(shí)滯耦