液晶動(dòng)力學(xué)方程的理論分析.pdf

1、在描述液晶動(dòng)力學(xué)行為的模型中,Doi-Onsager理論是基于統(tǒng)計(jì)力學(xué)的微觀理論,Ericksen-Leslie理論是從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)出發(fā)得到的宏觀理論。這兩個(gè)理論在液晶動(dòng)力學(xué)研究中起著基本的作用,而且在實(shí)際中被廣泛應(yīng)用。本文從微觀Doi-Onsager理論出發(fā),給出了宏觀Ericksen-Leslie理論的一個(gè)嚴(yán)格推導(dǎo),從而在數(shù)學(xué)上證明了這兩個(gè)不同尺度、且從不同觀點(diǎn)得到的模型之間的一致性。
　　對(duì)于勻質(zhì)系統(tǒng),Kuzzu-Doi[3

2、4]從Doi-Onsager模型出發(fā),在參數(shù)Deborah數(shù)趨于0時(shí),利用形式漸近展開推導(dǎo)了Ericksen-Leslie模型。但由于他們考慮的系統(tǒng)是勻質(zhì)的,因此無法得出Ericksen應(yīng)力。E-Zhang在[20]中通過引入卷積型的非局部位勢(shì),建立了非勻質(zhì)系統(tǒng)的微觀Doi-Onsager模型,同樣也利用形式漸進(jìn)展開在Deborah數(shù)趨于0的極限下推導(dǎo)出了完整的Ericksen-Leslie模型。本文的第一部分工作證明了在小Debora

3、h數(shù)極限下,Doi-Onsager方程的解將收斂到Ericksen-Leslie方程的解,從而給兩個(gè)理論之間的一致性建立了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
　　類似于Boltzmann方程的流體動(dòng)力學(xué)極限問題,首先需要從Ericksen-Leslie方程的光滑解出發(fā),對(duì)Doi-Onsager方程的解作Hilbert展開。Hilbert展開的存在性很不顯然,它依賴于Ericksen-Leslie系統(tǒng)能量的耗散性。對(duì)這一點(diǎn),本文證明了,從Doi-On

4、sager方程推導(dǎo)出的Ericksen-Leslie方程是能量耗散的。接下來問題的最大困難在于如何對(duì)Hilbert展開式余項(xiàng)得到一致控制估計(jì),這與線性化算子的譜穩(wěn)定性有關(guān)。通過觀察到該線性化算子的一個(gè)分解形式,我們得到了它的核空間和譜的詳細(xì)信息。這些信息足以使得我們建立勻質(zhì)系統(tǒng)的小Deborah數(shù)極限,還對(duì)非勻質(zhì)系統(tǒng)還不夠,因?yàn)樗俣确匠讨械膹椥詰?yīng)力項(xiàng)仍然是奇異的。為此,需要對(duì)一個(gè)與線性化算子相關(guān)的雙線性形式建立一個(gè)精確的下界估計(jì)。該雙線

5、性形式關(guān)于位置空間是非局部的,因此線性化算子的核內(nèi)和核外部分在該形式中的相互影響非常復(fù)雜。通過對(duì)指向空間構(gòu)造一個(gè)坐標(biāo)變換,并且引入一個(gè)五維的線性空間(稱為Maier-Saupe空間),作者得到了該雙線性形式在Maier-Saupe空間內(nèi)和空間外的不同形式的下界估計(jì)。對(duì)于Maier-Saupe空間之外的部分,可以得到強(qiáng)的控制;而對(duì)于Maier-Saupe空間之內(nèi)的部分,只能得到較弱的控制。通過引入適當(dāng)?shù)哪芰糠汉约皩?duì)奇異項(xiàng)結(jié)構(gòu)的精細(xì)分析,

6、并充分利用雙線性形式的兩部分下界控制,從而最終對(duì)余項(xiàng)得到了封閉的誤差估計(jì)。這部分詳細(xì)內(nèi)容參見第三章到第五章。
　　上述整個(gè)過程的前提是要求完整的Ericksen-Leslie方程存在光滑解,而在以往的研究中,由于它的完全形式過于復(fù)雜,大多數(shù)研究者在研究解的存在性時(shí),通常都將Leslie應(yīng)力忽略掉,僅僅保留Ericksen應(yīng)力,同時(shí)用Ginzburg-Landau逼近來放松指向場(chǎng)模長(zhǎng)為1的限制條件。因此,本文研究了完整形式的Eric

7、ksen-Leslie方程光滑解的存在性。首先作者細(xì)致分析了整個(gè)系統(tǒng)能量耗散中的抵消關(guān)系,將原方程化成了一個(gè)等價(jià)的形式,在該形式下推導(dǎo)先驗(yàn)?zāi)芰抗烙?jì)時(shí),不需要用到指向矢模長(zhǎng)為1的條件,從而使得逼近解的構(gòu)造變得簡(jiǎn)單。對(duì)于該等價(jià)形式,作者利用經(jīng)典的Friedrich方法構(gòu)造了逼近解,并證明了逼近解的收斂性,以及原方程解的存在唯一性。同時(shí),本文建立了Beale-Kato-Majda型爆破判據(jù),并利用該判據(jù)證明了小初值光滑解的整體存在性。值得一提

8、的是,前人的工作均要求所有耗散項(xiàng)的系數(shù)都大于0或者流體黏性系數(shù)足夠大(該兩個(gè)條件對(duì)很多實(shí)際系統(tǒng)并不滿足),而本研究對(duì)各耗散系數(shù)的要求降低到了最優(yōu)。該結(jié)果為本文前一部分研究提供了完備的基礎(chǔ),詳細(xì)內(nèi)容參見第二章。這是本文第二部分成果。
　　液晶理論的一個(gè)重要應(yīng)用是生物細(xì)胞膜問題,因?yàn)榧?xì)胞膜可以看成是兩層排列成近晶相的磷脂分子。本文第三部分研究了細(xì)胞膜的動(dòng)力學(xué)方程的適定性。細(xì)胞膜動(dòng)力學(xué)模型中包含了膜曲面的演化和其上二維不可壓流體的動(dòng)力學(xué)

9、,整個(gè)系統(tǒng)構(gòu)成了一個(gè)耦合了拋物型、橢圓型和雙曲型方程三類方程的方程組。它的求解是一個(gè)自由邊值問題,在通常的拉格朗日坐標(biāo)下很難得到封閉的能量估計(jì)。本文引入等溫坐標(biāo)將曲面重參數(shù)化,并利用等溫坐標(biāo)下幾何量之間的簡(jiǎn)化關(guān)系,得到了封閉的先驗(yàn)?zāi)芰抗烙?jì)。但是通常的迭代格式很難保證等溫關(guān)系一直成立,從而在對(duì)逼近系統(tǒng)做能量估計(jì)時(shí),仍然會(huì)帶來導(dǎo)數(shù)損失。因此本文利用等溫坐標(biāo)下幾何量之間的關(guān)系,構(gòu)造了新的迭代格式,但這也產(chǎn)生了新的問題,即收斂系統(tǒng)和原系統(tǒng)的等價(jià)