基于行波變換的無(wú)限維動(dòng)力系統(tǒng)的分岔研究.pdf

1、無(wú)限維動(dòng)力系統(tǒng)的分岔分析與控制是非線性科學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。在流體力學(xué)、固體力學(xué)、斷裂力學(xué)、大氣動(dòng)力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)以及生物演化系統(tǒng)存在大量的分岔行為，例如，粘彈性均質(zhì)梁的非線性振動(dòng)、對(duì)流和熱傳導(dǎo)、凝聚態(tài)物理、界面生長(zhǎng)演化中的非平衡相變等等，因此，需要進(jìn)行分岔分析與控制。本文以行波變換為基礎(chǔ)，通過(guò)中心流形方法降維，利用攝動(dòng)方法求分岔方程，研究了幾類經(jīng)典無(wú)限維動(dòng)力系統(tǒng)的靜態(tài)分岔問(wèn)題，并對(duì)其控制進(jìn)行了探討。
　　簡(jiǎn)單介紹了無(wú)限維動(dòng)力系統(tǒng)

2、分岔研究現(xiàn)狀以及分岔分析與控制方法?；谝环N輔助常微分方程方法研究非線性發(fā)展方程的行波解。對(duì)輔助方程方法的一般步驟以及現(xiàn)有的幾種常見的輔助方程進(jìn)行了介紹，并對(duì)這些輔助方程的求解步驟進(jìn)行了分析。通過(guò)對(duì)一個(gè)輔助微分方程的解的討論，并借助擴(kuò)展雙曲正切函數(shù)法的一些思想，求得了(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程和廣義(2+1)維Nizhnik-Novikov-Veselov方程的一些精確的行波解。該方法可以推廣至其他具

3、有孤子解、三角周期解和橢圓函數(shù)解的非線性偏微分方程的求解，前提是行波變換以后的非線性常微分方程要有精確解，如果不可解，則不能用輔助常微分方程方法求解?；谶@些精確解，可以直接研究非線性偏微分方程的分岔行為。
　　利用行波變換和直接積分方法獲得了Burgers方程和(2+1)維Burgers方程的精確解。并對(duì)上述方程的靜態(tài)分岔行為進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)Burgers方程和(2+1)維Burgers方程均具有典型的跨臨界分岔行為。對(duì)于由非線

4、性偏微分方程控制的無(wú)限維系統(tǒng)，分岔控制的研究成果還很少?？缗R界分岔行為是針對(duì)一維系統(tǒng)，可將Burgers方程和(2+1)維Burgers方程直接化成為一維系統(tǒng)，對(duì)于高維系統(tǒng)要用中心流形等方法對(duì)非線性偏微分方程或行波變換后的非線性常微分方程進(jìn)行約化。該方法還可以對(duì)偏微分方程的其他類型的靜態(tài)分岔，如叉形分岔和鞍結(jié)分岔等進(jìn)行分析。
　　討論了非線性偏微分方程和非線性常微分方程一樣也具有鞍結(jié)分岔、叉形分岔和跨臨界分岔行為。將三類非線性偏微

5、分方程通過(guò)行波變換，化為一階常微分方程，并對(duì)其進(jìn)行了靜態(tài)分岔分析。其中Burgers方程、(2+1)維Burgers方程和(2+1)維Burgers-KP方程具有跨臨界分岔，(2+1)維修改的Kadomtsev-Pet-viashvili方程具有鞍結(jié)分岔。并通過(guò)構(gòu)造一個(gè)偏微分方程，分析了該方程的叉形分岔行為。
　　采用精確處理方式，用行波變換將非線性偏微分方程變換為常微分方程，用中心流形方法降維，分析了某些無(wú)限維非線性系統(tǒng)的鞍結(jié)分

6、岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為，在參數(shù)平面了解非線性偏微分方程的解的穩(wěn)定性。用反饋控制方法對(duì)無(wú)限維非線性系統(tǒng)的三類靜態(tài)分岔進(jìn)行了控制，分別設(shè)計(jì)了線性、非線性的反饋控制器，對(duì)無(wú)限維系統(tǒng)的鞍結(jié)分岔、跨臨界分岔、叉形分岔行為進(jìn)行了有效控制。反饋控制器不會(huì)改變?cè)到y(tǒng)的分岔特性，而使非線性系統(tǒng)的分岔點(diǎn)發(fā)生了改變，系統(tǒng)解的穩(wěn)定區(qū)域發(fā)生了改變。
　　研究了帶有激勵(lì)項(xiàng)的Burgers-KdV方程的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有鞍結(jié)分岔行為。在該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)中存在跳躍