無限維動力系統(tǒng)的分岔解及其穩(wěn)定性研究.pdf

1、無限維動力系統(tǒng)時間演化中的分岔問題廣泛存在于物理、化學(xué)和生物等學(xué)科中，包括流體力學(xué)、固體力學(xué)、斷裂力學(xué)、大氣動力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)以及生物演化系統(tǒng)等等。例如，對流和熱傳導(dǎo)、凝聚態(tài)物理、界面生長演化中的非平衡相變問題，形成了一些遠(yuǎn)離平衡態(tài)的穩(wěn)定斑圖。還有粘彈性均質(zhì)梁的非線性振動問題，在一定外載荷作用下失穩(wěn)后出現(xiàn)的屈曲。這些自然界現(xiàn)象均密切相關(guān)于無限維動力系統(tǒng)的時空分岔問題。
　　 早期由R.Temam等人建立的無限維空間上的整體吸引子和

2、近似慣性流形理論已經(jīng)成為了研究無限維系統(tǒng)的動力學(xué)行為的有效工具。在此基礎(chǔ)上，由無限維系統(tǒng)中心流形約化方法得到的吸引子分歧理論，成為了近年來無限維動力系統(tǒng)分岔研究的重要進(jìn)展，也是本文采用的重要方法之一。本文還簡要介紹了其他的分岔分析方法，包括拓?fù)浞治觥⒔馕鼋坪蛿?shù)值計(jì)算方法；同時，也給出了在無限維空間中的平衡解的漸進(jìn)穩(wěn)定性定義。
　　 本文將在Hilbert空間上考慮多個無限維動力模型的分岔問題，包括描述一維和二維空間域上非平衡態(tài)

3、界面生長演化的修改Kuramoto-Sivashinsky方程，具Kirchhoff型非線性梁振動方程和描述反應(yīng)擴(kuò)散問題的Burgers-Fisher方程。對于齊次問題，利用中心流形定理和吸引子分歧定理，直接得到方程的顯式近似分岔解及其穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)外部受某些自治擾動時，利用攝動法先對穩(wěn)態(tài)方程進(jìn)行分岔分析，然后利用無限維動力系統(tǒng)的先驗(yàn)估計(jì)方法對分岔出的穩(wěn)態(tài)解進(jìn)行穩(wěn)定性分析，結(jié)果顯示分岔臨界點(diǎn)發(fā)生了偏移。本文還對一個受外部時間周期激勵的復(fù)

4、Ginzburg-Landau方程模型進(jìn)行了討論，結(jié)果顯示在一個極限環(huán)附近發(fā)生分岔，得到了一個擬周期解的顯式近似及其穩(wěn)定性。這些結(jié)果將有利于追蹤新的穩(wěn)定狀態(tài)，比如空間斑圖結(jié)構(gòu)，并有助于分岔控制。
　　 無限維空間上分岔問題的數(shù)值分析是前沿課題。本文利用差分方法驗(yàn)證了界面生長演化模型的相變問題，并得到了分岔圖和分岔解的數(shù)值結(jié)果。另外，考慮一個外部激勵的非線性強(qiáng)阻尼波動方程，結(jié)合多尺度方法和數(shù)值計(jì)算，對基于有限維近似慣性流形上的約化