微分算子特征值的一種數(shù)值解法與對稱算子自共軛擴張的邊值空間理論.pdf

1、本文圍繞(微分)算子領(lǐng)域的特征值數(shù)值計算、對稱算子自共軛擴張及微分算子自共軛域描述三個方面進行了研究。關(guān)于微分算子特征值的數(shù)值計算，無論在理論上，還是在實踐中，都有著重要的意義。事實上，能直接給出解析解的微分算子只有很少幾類，但是對于數(shù)值方法，特別是隨著現(xiàn)代高速計算機的出現(xiàn)與更新，在定量解決各種工程技術(shù)問題時顯出越來越大的威力。同時我們更應(yīng)該注意到，數(shù)值結(jié)果反過來可以進一步啟發(fā)人們得出更加深刻的定性結(jié)果。數(shù)值分析在理論研究中起著越來越重

2、要的作用。在流體和磁流體等理論中提出的高階(非)自共軛問題、多層介質(zhì)中的熱傳導(dǎo)或擴散問題和邊條件中含有譜參數(shù)的問題是微分算子譜理論中的幾個新的重要問題，過去的數(shù)值方法多是針對二階自共軛問題，近些年，Greenberg和Marletta提出了一種基于Atkinson-Prufer振動理論的打靶法，但是這種方法在求解微分方程初值問題時，采用的是分段常系數(shù)逼近的辦法，在處理高振動系數(shù)問題時有一定的缺陷。針對以上問題，提出了一種全新的方法，提供

3、了處理這些問題的一種統(tǒng)一的框架，通過特征方程ly(x，λ)=λy(x，λ)(其中，l表示n階常微分算式，λ是特征參數(shù).)一般解的一種關(guān)于特征參數(shù)的冪級數(shù)表示，我們發(fā)現(xiàn)并證明了其系數(shù)滿足由微分方程構(gòu)成的一種遞推關(guān)系。根據(jù)Volterra積分算子的性質(zhì)，給出并證明了一種求解系數(shù)函數(shù)ai(x)的方法，由此構(gòu)造了求解特征方程冪級數(shù)形式解的方法。進而證明了這種方法在數(shù)值上的穩(wěn)定性，并給出了這種冪級數(shù)解的截斷誤差估計.由冪級數(shù)解，可計算出相應(yīng)的特征

4、行列式(其零點即特征值)，再應(yīng)用求根工具可求出特征值的數(shù)值解。給出了相應(yīng)的特征函數(shù)的計算方法.最后，通過具體的算例，驗證和分析了我們的計算方法。本算法結(jié)構(gòu)簡單，思路清晰，適用性廣，不僅可以求解二階自共軛問題，還可求解上述提到的高階(非)自共軛，不連續(xù)Sturm-Liouville問題等這些新問題。
　　 本文中借助所發(fā)展的一般的對稱算子自共軛擴張的邊值空間理論，重新給出常微分算子自共軛域的解析描述.具體地，對于正則的和奇異的常微

5、分算子以及不連續(xù)的Sturm-Liouville算子，運用一種簡單的邊界映射和Cm(m表示相應(yīng)算子的虧指數(shù))上的酉變換，我們“參數(shù)化”的給出了所有的自共軛擴張。本研究分為八個部分：第一章緒論，介紹本文所研究問題的背景及本文的主要結(jié)果；第二章簡單介紹產(chǎn)生微分算子譜問題的幾個實際背景；第三章介紹利用分離特征參數(shù)法求解特征方程含參數(shù)解的一般方法，以及相應(yīng)特征函數(shù)的計算方法；第四章和第五章分別討論自共軛和非自共軛問題特征值的數(shù)值解法，及相應(yīng)的算