參數(shù)具有對稱性的等變分歧問題的開折與分類.pdf

1、1979年，M.Golubitsky和D.G.Schaeffer[32,33]首先引入了應(yīng)用奇點(diǎn)理論方法和群論方法研究分歧問題的思想，他們對分歧問題研究所使用的主要工具來自光滑映射芽的奇點(diǎn)理論中的相關(guān)技巧。它主要包括三個(gè)方面：(1)分歧問題的開折，研究分歧問題在一般擾動(dòng)下的變化狀態(tài)。如果一個(gè)分歧問題存在通用開折，那么對做擾動(dòng)產(chǎn)生的每一個(gè)開折都可以由它的通用開折導(dǎo)出，這說明研究通用開折是很有意義的。(2)分歧問題的識別。為探討一

2、個(gè)分歧問題在什么條件下等價(jià)于給定的標(biāo)準(zhǔn)形式，必須尋找這一標(biāo)準(zhǔn)形在等價(jià)群D作用下的軌道特征。借助于奇點(diǎn)理論中的一個(gè)基本概念(有限決定性)，這一問題常?？梢院喕癁橛邢蘧S情形來處理。D模去高階項(xiàng)將以Lie群方式作用，其軌道是半代數(shù)集，因而可以將軌道描述成由這樣的一些映射芽組成，它們的Taylor系數(shù)滿足有限多個(gè)多項(xiàng)式約束，并以等式和不等式形式表示，這一描述正是識別問題的解。(3)分歧問題的分類，這是一個(gè)非常有意義但又是棘手的問題

3、。到目前為止，只對幾類分歧問題在低余維條件下的分類問題予以解決。近二十年來，運(yùn)用奇點(diǎn)理論研究分歧問題主要圍繞上述三個(gè)方面展開討論。例如，在開折理論研究中，對于含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問題，當(dāng)它的狀態(tài)空間與靶空間相同時(shí)，文獻(xiàn)[31]給出了通用開折定理。其后許多學(xué)者對此繼續(xù)研究，建立了各種形式的通用開折理論(見[19,2l,24,26,30,40,46,47,49,50,54,56,67,73,74,75,76])。在分歧問題的識

4、別研究中，文獻(xiàn)[25]引入冪單代數(shù)群和冪零Lie代數(shù)作為研究工具，建立了多參數(shù)分歧問題的D(Г)-等價(jià)理論，文獻(xiàn)[59]研究含一個(gè)分歧參數(shù)的等變分歧問題，建立了U(Г)-等價(jià)理論，文獻(xiàn)[53]則討論了多參數(shù)等變分歧問題的U(Г)-等價(jià)理論；在分歧問題分類研究方面，Keyfitz[44]得到了余維數(shù)不超過7的不帶對稱性的單狀態(tài)變量的分歧問題的分類。Golubitsky和Schaeffe[34]得到了余維數(shù)不超過3的單狀態(tài)變量以

5、Z2為對稱群的單參數(shù)等變分歧問題的分類。Golubitsky和Roberts[35]得到了單參數(shù)兩狀態(tài)變量關(guān)于D4對稱的分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下的分類。Melbourne[58]討論了三狀態(tài)變量關(guān)于八面體群對稱的單參數(shù)等變分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過1的條件下的分類。Manoel與Stewart[56]討論了具有隱藏對稱性的分歧問題的分類。Peter[62]研究了兩參數(shù)單狀態(tài)變量分歧問題在余維不超過1的條件下的分類。

6、Furter，Sitta和Stewart[24]研究了分歧參數(shù)與狀態(tài)變量具有相同的對稱性的多參數(shù)等變分歧問題，并給出了參數(shù)與狀態(tài)變量均關(guān)于D4對稱的兩參數(shù)等變分歧問題在余維數(shù)不超過1的條件下的分類。值得指出的是對分歧問題研究常常不考慮分歧參數(shù)的對稱性，即使考慮也僅限于參數(shù)空間與狀態(tài)空間有相同的對稱性。本文研究分歧參數(shù)帶有對稱性的靜態(tài)多參數(shù)等變分歧問題，而且分歧參數(shù)所具有的對稱性可與狀態(tài)變量所擁有的對稱性不同，從而建立起更一

7、般的參數(shù)具有對稱性的靜態(tài)等變分歧理論，包括靜態(tài)等變分歧問題的開折、穩(wěn)定性、識別。在此基礎(chǔ)上對狀態(tài)變量以D4對稱群、分歧參數(shù)以S1對稱群的靜態(tài)分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下進(jìn)行分類，這就是本文研究的內(nèi)容之一。在靜態(tài)分歧問題的研究中，需要引入分歧問題及其開折的等價(jià)關(guān)系。通常的開折理論借助于奇點(diǎn)理論中光滑映射芽的接觸等價(jià)來定義分歧問題及其開折的等價(jià)，本文考慮引入奇點(diǎn)理論中的左右等價(jià)關(guān)系，對于以緊李群為對稱群的分歧問題的等價(jià)

8、賦予新的含義，因而將要建立的開折理論區(qū)別于通常的等變分歧問題的開折理論，這是本文研究的內(nèi)容之二。本文由相對獨(dú)立的兩部分組成，第一部分包含第一章和第二章，討論多參數(shù)等變分歧問題的開折理論、分歧問題及其開折的穩(wěn)定性和分歧問題的識別，并給出了狀態(tài)變量以D4對稱群、分歧參數(shù)以S1對稱群的靜態(tài)分歧問題在拓?fù)溆嗑S數(shù)不超過2的條件下進(jìn)行分類。第二部分研究多參數(shù)等變分歧問題關(guān)于左右等價(jià)的開折，主要結(jié)果是命題3.2.1，定理3.4.1.推廣了