流形計(jì)算.pdf

1、不變流形(包括穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形)計(jì)算具有深刻的理論背景和廣泛的應(yīng)用背景。由于自然界中所有隨著時(shí)間而變化的現(xiàn)象都可以用適當(dāng)?shù)膭?dòng)力學(xué)模型描述(如微分方程、差分方程、隨機(jī)過(guò)程等)，所以動(dòng)力系統(tǒng)的一般理論得到了廣泛而深入的研究。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)理論研究中，穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的幾何結(jié)構(gòu)是其中心問(wèn)題之一。穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形計(jì)算是研究全局分岔和混沌吸引子邊界問(wèn)題的有力的工具；同時(shí)穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形計(jì)算可以用來(lái)研究系統(tǒng)的周期軌。
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2、文首先介紹了不變流形的一些理論知識(shí)，結(jié)合理論給出兩種具體的不變流形：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流形和Lorenz流形，并給出了理論分析。接著介紹了幾種最新的流形計(jì)算算法，詳細(xì)介紹了這些算法的步驟，并分析了這些算法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。本文提出了改進(jìn)的流形計(jì)算算法，可以求得穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形的直觀圖像，從而可以從幾何角度研究動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為和穩(wěn)定性區(qū)域的邊界特征。算法主要構(gòu)成：第一步利用PDE算法在不變流形上求出許多分布合理的點(diǎn)，精確的反映流形面的每個(gè)細(xì)節(jié)。第

3、二步在已知這些點(diǎn)的情況下，勾畫出直觀的不變流形。算法第一步，利用一階擬線性偏微分方程來(lái)逼近不變流形，然后利用歐拉法把求解一階擬線性偏微分方程轉(zhuǎn)化成求解非線性方程，避免了頻繁求解微分方程問(wèn)題，提高了算法的效率。算法第二步，借助三角形剖分或二維單純形剖分，使得到圖像更加直觀。利用改進(jìn)的不變流形算法計(jì)算神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)流形和Lorenz系統(tǒng)流形，通過(guò)選擇不同的計(jì)算長(zhǎng)度，深刻反映了流形的生長(zhǎng)過(guò)程，得到不變流形整體和局部的幾何結(jié)構(gòu)。
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