Lorenz流形的數(shù)值分析.pdf

1、近40多年Lorenz系來(lái)對(duì)Lorenz吸引子的研究，主要是從動(dòng)力學(xué)角度揭示了統(tǒng)的混沌復(fù)雜性。Lorenz吸引子復(fù)雜的分形結(jié)構(gòu)，能在一定程度上從分形幾何學(xué)的角度反映出系統(tǒng)的混沌動(dòng)力特性。但Lorenz吸引子無(wú)法在全局的層面上對(duì)三維相空間進(jìn)行分割和組織，這個(gè)角色只能由Lorenz流形來(lái)?yè)?dān)當(dāng)。Lorenz流形是指那些時(shí)間趨向無(wú)窮大時(shí)趨向于原點(diǎn)的相點(diǎn)的集合，只能借助數(shù)值手段來(lái)計(jì)算。現(xiàn)有的許多流形算法只是把Lorenz流形作為一個(gè)測(cè)試對(duì)象來(lái)驗(yàn)證

2、流形算法本身的有效性，卻忽視了通過(guò)對(duì)Lorenz流形自身幾何特性的深入刻畫，從幾何角度審視Lorenz系統(tǒng)的復(fù)雜性。Lorenz流形的計(jì)算過(guò)程對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)在反向時(shí)間方向上的演化。由于其無(wú)界性，Lorenz流形的許多細(xì)節(jié)只能通過(guò)大量的計(jì)算獲取足夠大的流形表面才能夠被揭示出來(lái)。這是目前的算法無(wú)法做到的，其中有些是因?yàn)樗惴ū旧淼木窒扌栽斐傻?，比如基于短程線距離的算法，由于其忽略了流形表面的動(dòng)力特性，會(huì)因?yàn)檫^(guò)早地陷入流形局部的大曲率部分而停止。而

3、有些算法則是因?yàn)榇罅餍涡枰罅繑?shù)據(jù)來(lái)描述，有限的系統(tǒng)資源成為瓶頸。因此本文提出一些新的算法來(lái)揭示Lorenz流形的幾何真面目，這套算法能夠從局部、整體和截面等不同層面對(duì)Lorenz流形進(jìn)行刻畫。這些算法不僅僅局限于對(duì)Lorenz流形的研究，它還被應(yīng)用于其它類型的系統(tǒng)，如高維系統(tǒng)和快慢系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)不變流形的幾何特性的刻畫來(lái)揭示系統(tǒng)的動(dòng)力本質(zhì)。 由于現(xiàn)有的流形算法之間的具體實(shí)現(xiàn)環(huán)境和結(jié)果的可視化環(huán)境都不大一樣，因此無(wú)法對(duì)它們的結(jié)果進(jìn)

4、行直觀的比較和分析。所以本文先是根據(jù)算法是基于短程線距離還是弧長(zhǎng)，是否是流驅(qū)動(dòng)的，將現(xiàn)有的流形算法分成4類，然后從4類算法中分別選擇一種算法，統(tǒng)一在Matlab環(huán)境下將它們實(shí)現(xiàn)，同時(shí)利用Matlab強(qiáng)大的可視化功能對(duì)它們的結(jié)果進(jìn)行疊印比較。但由于真正的Lorenz流形的未知性，使得從根本上，無(wú)法知道計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。為了解決這一問(wèn)題，本文通過(guò)精確數(shù)值積分，求得流形表面上的部分軌線來(lái)構(gòu)建Lorenz流形的部分輪廓。將流形算法求得的流形輪廓

5、與其進(jìn)行比較便能確定算法的準(zhǔn)確性。比較結(jié)果說(shuō)明所選的4種算法的計(jì)算結(jié)果相互間雖然存在些差異，但都能在誤差范圍內(nèi)對(duì)Lorenz流形的幾何形狀進(jìn)行刻畫。由于大多數(shù)流形算法都是從原點(diǎn)處的一階穩(wěn)定特征平面E<'s>(0)上選取靠近原點(diǎn)的一圈起始點(diǎn)，然后逐圈迭代增長(zhǎng)，所以這些點(diǎn)的選擇精度比較重要。但如果太靠近原點(diǎn)，特別是對(duì)于流驅(qū)動(dòng)的算法，會(huì)因?yàn)榱飨蛄康哪＃黤(x)｜太小而影響算法的速度。為了解決這一問(wèn)題，需要求得局部流行的高階表達(dá)式為算法提供更準(zhǔn)

6、確的初始點(diǎn)，而且這些點(diǎn)無(wú)需太靠近原點(diǎn)?；诎霃埩坷碚摽梢越o出局部流行的任意階表達(dá)式，且無(wú)需對(duì)系統(tǒng)的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，所以本文利用基于半張量理論的局部流形計(jì)算方法，給出Lorenz流形在原點(diǎn)附近局部流形的二階解析表達(dá)式，為后續(xù)的全局流形算法提供更準(zhǔn)確的初始點(diǎn)，提高算法的準(zhǔn)確性。 Guckenheimer和Vladimirsky通過(guò)求解偏微分方程來(lái)計(jì)算Lorenz流形局部，流形表面由三角形雜亂地拼接而成，其核心是給定流形上已知的兩點(diǎn)，求

7、三角形的第三個(gè)點(diǎn)。流形的局部信息，即每個(gè)三角形，用偏微分方程來(lái)描述，可在Euler框架下通過(guò)Newton迭代法對(duì)其進(jìn)行快速求解。但由于局部三角形是被雜亂地拼接在一起的，所以流形表面的增長(zhǎng)是無(wú)規(guī)則的，這種不合理的結(jié)構(gòu)增加了流形算法的復(fù)雜性。而采用短程線圈結(jié)構(gòu)便不存在這問(wèn)題，于是本文將其中的快速核心部分應(yīng)用于短程線圈結(jié)構(gòu)，提出基于短程線距離和非流驅(qū)動(dòng)的流形算法，其中三角形被組織到幾何結(jié)構(gòu)更加合理的環(huán)帶上來(lái)描繪Lorenz流形，從數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的角

8、度來(lái)說(shuō)也更易于算法的具體實(shí)現(xiàn)。 由于目前的算法無(wú)法獲取足夠多的數(shù)據(jù)量來(lái)揭示Lorenz流形的幾何復(fù)雜性，其中有些是因?yàn)樗惴ū旧淼木窒扌栽斐傻?，有些是因?yàn)橄到y(tǒng)的資源瓶頸決定的。因此本文提出基于弧長(zhǎng)和流直接驅(qū)動(dòng)的流形算法(AF06BIG)來(lái)揭示Lorenz流形的幾何真面目。它能從整體和截面等不同層面對(duì)Lorenz流形進(jìn)行刻畫。該算法采用局部曲率自適應(yīng)機(jī)制，能用相對(duì)較少的數(shù)據(jù)量來(lái)描繪較大面積的Lorenz流形，具有較強(qiáng)的伸縮性。并且根

9、據(jù)該算法的結(jié)果得出Lorenz流形表面在t<0方向上具有吸引性的結(jié)論，根據(jù)其層出不窮的幾何結(jié)構(gòu)猜想其為三維相空間下的分形幾何體。 由于Lorenz流形是無(wú)界的，所以那些徑向逐圈增長(zhǎng)流形表面的算法比較適合，而且計(jì)算結(jié)果能夠易于可視化。但在實(shí)際系統(tǒng)的應(yīng)用中，會(huì)碰到不變流形有界且各個(gè)分量增長(zhǎng)不均勻的情形。這時(shí)軌線延拓算法(AN910RB)會(huì)比較適合，其用軌線來(lái)描述流形的思路能與其它算法互補(bǔ)。而且對(duì)于這些系統(tǒng)，直接用軌線同樣能得到較好的

10、可視化效果。由于軌線延拓算法是基于數(shù)值延拓和正交配置法來(lái)求解軌線的，相對(duì)于單射法，其求解過(guò)程精度高，速度快，且算法較穩(wěn)定。但其原來(lái)的實(shí)現(xiàn)環(huán)境AUTO無(wú)法在線顯示計(jì)算結(jié)果，且可移植性較差，再加上本文的流形算法都是在Matlab下實(shí)現(xiàn)的，為保證實(shí)現(xiàn)環(huán)境的一致性，并為以后能將所有流形算法集成在Matlab環(huán)境中，便于他人使用，本文利用Matlab環(huán)境下的數(shù)值延拓工具M(jìn)atCont結(jié)合Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和可視化功能，實(shí)現(xiàn)了流形軌線延拓算

11、法。 在對(duì)Lorenz流形的數(shù)值分析過(guò)程中，本文實(shí)現(xiàn)了5個(gè)流形算法，但其有效性還有待于在其它類型系統(tǒng)的應(yīng)用過(guò)程中來(lái)得以驗(yàn)證。每個(gè)算法的適用范圍也需要在不斷的使用過(guò)程中才能得以確認(rèn)。另一方面，算法的結(jié)果應(yīng)該要能解釋系統(tǒng)的某些現(xiàn)象。于是，本文選了兩個(gè)例子，一個(gè)是倒立擺的最優(yōu)控制系統(tǒng)，另一個(gè)是生物神經(jīng)元模型。前者為4維Hamilton系統(tǒng)，后者為3維快慢系統(tǒng)。對(duì)前者的研究表明了算法AF06BIG適用于高維系統(tǒng)。對(duì)后者的研究是利用算法A