分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣與分?jǐn)?shù)階亞當(dāng)斯方法的誤差分析.pdf

1、自1695年9月30日提出分?jǐn)?shù)階微積分以來，它已被證實(shí)為是非常有用的。在現(xiàn)實(shí)中，應(yīng)用科學(xué)家和工程師認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)階微分方程為用分?jǐn)?shù)階方程建模的各種問題的討論提供了自然框架，如粘彈性系統(tǒng)，電極-電解質(zhì)極化作用，電化學(xué)，信號(hào)處理，擴(kuò)散過程，控制過程等等。特別是在近幾十年中，由于在科學(xué)和工程中應(yīng)用中的潛力，分?jǐn)?shù)階微積分和分?jǐn)?shù)階微分方程吸引了越來越多的注意和興趣。 本論文主要由三章組成。第一章主要介紹分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)知識(shí)，然后討論了非線性

2、分?jǐn)?shù)階微分方程解的漸近穩(wěn)定性。我們這本論文的中心內(nèi)容是第二章和第三章。在第二章中，我們介紹了定義在復(fù)平面上的Ortigueira導(dǎo)數(shù)，并且深入研究了它的性質(zhì)，然后我們把在實(shí)直線上的Caputo導(dǎo)數(shù)推廣到復(fù)平面上，并且討論了它的性質(zhì)．在第三章中我們考察了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的數(shù)值解的方法，該方程有初始條件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，其中α可為任意正數(shù)，微分算子是Caput

3、o導(dǎo)數(shù)。 詳細(xì)地說，第一章我們簡單回顧了三類分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和深入介紹了它們的性質(zhì)，即Grunwald-Letnikov導(dǎo)數(shù)，Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)，Caputo導(dǎo)數(shù)。我們還簡單回顧了分?jǐn)?shù)階微分方程解的存在性和唯一性定理。此外，我們?cè)诒菊轮薪⒘岁P(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理，并且給出了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程解的漸近穩(wěn)定性定理。 第二章我們首先遵循定義在復(fù)平面上的從分?jǐn)?shù)階差分到分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的方法，得到了著名的柯

4、西積分。其次，我們?cè)贖ankel圍道積分的幫助下分析了推廣的柯西積分，從而給出了Ortigueira導(dǎo)數(shù)的概念，我們還深入研究了它的一些有意義的性質(zhì)。最后，我們把實(shí)直線上的Caputo導(dǎo)數(shù)推廣到復(fù)平面上，并且研究了它的性質(zhì)，并計(jì)算了該導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換和拉普拉斯變換。特別地，我們陳述了具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程的初值問題。這些問題的討論有助于理解這些定義和分?jǐn)?shù)階問題的建模。

5、第三章我們考察了關(guān)于非線性分?jǐn)?shù)階微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的數(shù)值解，該方程帶有初始條件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，這里的α可為任意正數(shù)，微分算子是Caputo導(dǎo)數(shù)。在本章中，我們首先給出了分?jǐn)?shù)階Adams數(shù)值方法，接著我們列舉和證明了一些很有用的結(jié)果[5]，最后我們深入研究了該方法在其它條件下分?jǐn)?shù)階微分方程的誤差分析。具體地說我們認(rèn)真地研究了情形，f∈C3(G)，0<α<1和f∈C2(G