線性序拓?fù)淇臻g上連續(xù)自映射的廣義周期點(diǎn)與不穩(wěn)定流形.pdf

1、連續(xù)自映射的廣義周期點(diǎn)（即周期點(diǎn)、非游蕩點(diǎn)、回歸點(diǎn)，鏈回歸點(diǎn)、ω-極限點(diǎn)等）是拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)研究的主要內(nèi)容之一。在現(xiàn)實(shí)世界中，具有周期狀態(tài)的系統(tǒng)大量存在。而迭代過程中的周期軌是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型之一，并且它是迭代系統(tǒng)的最簡(jiǎn)單的不變子集。更一般的還有非游蕩點(diǎn)集、回歸點(diǎn)集，鏈回歸點(diǎn)集、ω-極限點(diǎn)等，這些廣義周期點(diǎn)各自的特性以及它們之間的關(guān)系都在一定程度上反映動(dòng)力系統(tǒng)的本質(zhì)特征。本文在闡述動(dòng)力系統(tǒng)的研究背景、指出它在混沌理論研究中的重要

2、作用并且介紹廣義周期點(diǎn)的研究進(jìn)展的基礎(chǔ)上，首先將一維動(dòng)力系統(tǒng)中的周期點(diǎn)、不穩(wěn)定流形、非游蕩點(diǎn)等重要概念進(jìn)行拓?fù)渫茝V。然后，類比實(shí)直線上廣義周期點(diǎn)的性質(zhì)并且利用拓?fù)鋵W(xué)的基本方法與技巧，在線性序拓?fù)淇臻g上得到如下一系列結(jié)果：
　　 ⑴關(guān)于周期點(diǎn)，得到了關(guān)于3-周期點(diǎn)的一個(gè)充要條件和周期點(diǎn)集有限的周期結(jié)構(gòu)，并將實(shí)直線上Sharkovskii定理推廣到完備稠序線性序拓?fù)淇臻g（簡(jiǎn)記為CDLOTS）上。
　　 ⑵關(guān)于不穩(wěn)定流形，在C

3、DLOTS上得到了許多與實(shí)直線一致的結(jié)論，比如：連續(xù)自映射不動(dòng)點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形是連通的、連續(xù)自映射的周期點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形必是有限個(gè)區(qū)間的并、不動(dòng)點(diǎn)p的不穩(wěn)定流形與p的任意鄰域的交集，通過f有限次迭代之后，會(huì)包含p的不穩(wěn)定流形、周期點(diǎn)集有限的連續(xù)自映射f在不動(dòng)點(diǎn)p的不穩(wěn)定流形中沒有異于P的點(diǎn)經(jīng)f映射成p等等，本文還指出，在具有最大最小元的CDLOTS上，連續(xù)自映射的不穩(wěn)定流形的邊界點(diǎn)，如果不屬于流形本身，則必為該連續(xù)自映射的周期點(diǎn)。

4、>　　 ⑶關(guān)于單側(cè)不穩(wěn)定流形，得到了“連續(xù)自映射的兩個(gè)相鄰不動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)間必含于其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的單側(cè)不穩(wěn)定流形之中”和“周期點(diǎn)集有限的連續(xù)自映射，其不動(dòng)點(diǎn)處的不穩(wěn)定流形被該不動(dòng)點(diǎn)按序關(guān)系截為兩部分，分別為該不動(dòng)點(diǎn)的左、右側(cè)不穩(wěn)定流形”等結(jié)論。
　　 ⑷對(duì)廣義周期點(diǎn)中的非游蕩點(diǎn)的性質(zhì)進(jìn)行了推廣，在一般拓?fù)淇臻g上得到非游蕩點(diǎn)的等價(jià)條件，證明了非游蕩集是閉不變集，并給出了第一可數(shù)的Hausdorff空間中連續(xù)自映射的非游蕩集的等價(jià)描