多自由度碰撞振動系統(tǒng)的對稱性、分岔與混沌研究.pdf

1、本文以兩個(gè)典型的三自由度對稱碰撞振動模型為研究對象，系統(tǒng)地研究了該類非光滑動力系統(tǒng)的分岔和混沌等動力學(xué)行為。研究表明：有對稱雙側(cè)剛性約束的碰撞振動系統(tǒng)(對稱碰撞振動系統(tǒng))的動力學(xué)行為與一般的碰撞振動系統(tǒng)相比有很大的不同。 第一章從碰撞振動系統(tǒng)的周期運(yùn)動的穩(wěn)定性、分岔以及混沌等方面的理論研究和工程應(yīng)用背景出發(fā)，綜述了部分研究成果、最新發(fā)展動態(tài)和存在的主要問題。 第二章研究了三自由度對稱碰撞振動系統(tǒng)的對稱周期n-2運(yùn)動以及P

2、oincar6映射的對稱性。討論了其對稱周期n-2運(yùn)動的存在性條件，并得到了對稱周期n-2運(yùn)動的解析解。確定了系統(tǒng)的Poincar6截面及其對稱截面，建立了一個(gè)對稱變換，并構(gòu)造了Poincar6映射。研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的Poincar6映射具有一定形式的對稱性，在這種對稱性質(zhì)作用下，Poincar6映射P可以表示為另外一個(gè)映射Qγ的二次復(fù)合。定義了對稱不動點(diǎn)和反對稱不動點(diǎn)的概念，它們分別對應(yīng)于碰撞振動系統(tǒng)的對稱周期n-2運(yùn)動和反對稱周期n-2

3、運(yùn)動。利用Poincar6映射的線性化矩陣的特征值，結(jié)合映射不動點(diǎn)的分岔理論，證明了碰撞振動系統(tǒng)的對稱不動點(diǎn)(對稱周期n-2運(yùn)動)不可能發(fā)生余維一的周期倍化分岔，以及Hopf-flip分岔和pitchfork-flip分岔。證明了兩個(gè)反對稱不動點(diǎn)(反對稱周期，n-2運(yùn)動)的Poincar6映射的線性化矩陣具有相同的特征值，從而說明它們具有相同的穩(wěn)定性。計(jì)算了對稱不動點(diǎn)(對稱周期n-2運(yùn)動)的Poincar6映射的線性化矩的特征值。通過數(shù)

4、值模擬發(fā)現(xiàn)對稱不動點(diǎn)可能發(fā)生音叉分岔和Hoof分岔。 第三章研究了一類三自由度對稱碰撞振動系統(tǒng)在音叉分岔后通向混沌之路。利用動力系統(tǒng)中的極限集理論，研究了對稱碰撞振動系統(tǒng)吸引子的對稱性。討論了從非對稱極限集轉(zhuǎn)化為對稱極限集的條件，并得到以下結(jié)論：若ω-極限集與其共軛極限集的交集非空，則該ω-極限集是對稱極限集。數(shù)值模擬不僅得到了非對稱的共軛混沌吸引子和對稱混沌吸引子，還得到了非對稱的共軛擬周期吸引子和對稱擬周期吸引子。在一定的參

5、數(shù)區(qū)間上，吸引子則可能反復(fù)經(jīng)歷失去對稱性和恢復(fù)對稱性的過程。對于映射P而言，擬周期吸引子明顯地具有“爆發(fā)"的特征，即吸引子的形狀突然變大，并延伸到與自身對稱的區(qū)域，從而完成了從非對稱極限集到對稱極限集的演化，因此這個(gè)過程可稱為吸引子的“恢復(fù)對稱性”分岔。對于映射Qγ而言，則可以認(rèn)為是兩個(gè)共軛的擬周期吸引子互相碰撞并同時(shí)突然融合到對方體內(nèi)，完成了從非對稱極限集到對稱極限集的演化，從而生成一個(gè)外形尺寸更大的具有對稱性的擬周期吸引子。以上這兩

6、種解釋不僅對于擬周期吸引子是有效的，對于其它類型的吸引子(例如混沌吸引子)同樣是有效的。第四章研究了三自由度對稱碰撞振動系統(tǒng)的余維二分岔。因?yàn)镻oincaré映射P的對稱性能夠通過映射Qγ表示，對于映射P在分岔點(diǎn)處的范式研究，可轉(zhuǎn)化為對映射Qγ的范式研究。討論了Poincard映射P在幾種余維二分岔點(diǎn)處的范式映射，包括：Hopf-Hopf分岔，Hopf-pitchfork分岔，以及1:2共振的情況。以上這三種情況分別對應(yīng)于映射Qγ的Ho

7、pf-Hopf分岔，Hopf-flip分岔，以及1:4共振的情況。在這三種余維二分岔的情況下，雖然映射P及其所對應(yīng)的映射Qγ的范式的形式是完全相同的，但是范式映射的系數(shù)卻是不同的。這當(dāng)然導(dǎo)致了它們范式映射在余維二分岔點(diǎn)處的開折圖中的區(qū)間邊界的不同。對模型一的Hopf-Hopf分岔和1:2共振的情況，以及模型二的Hopf-pitchfork分岔進(jìn)行了數(shù)值分析。還通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了三個(gè)孤立的穩(wěn)定Hopf圈共存的現(xiàn)象，其演化順序?yàn)椋阂粋€(gè)不穩(wěn)定

8、對稱不動點(diǎn)→一個(gè)半穩(wěn)定的對稱Hopf圈一三個(gè)穩(wěn)定Hopf圈。目前還不能對這種現(xiàn)象給出較好的理論解釋。 第五章研究了對稱碰撞振動系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)的計(jì)算方法。對于具有對稱雙側(cè)剛性約束的碰撞振動系統(tǒng)，利用其Poincard映射P的對稱性質(zhì)，可以通過構(gòu)造一個(gè)虛擬隱式映射Qγ來計(jì)算所有Lyapunov指數(shù)。當(dāng)?shù)玫教摂M隱式映射Qγ之后，便可以引用光滑系統(tǒng)中采用時(shí)間序列的方法來計(jì)算Lyapunov指數(shù)。當(dāng)?shù)玫饺康腖yapunov指