幾類捕食模型的定性分析.pdf

1、捕食模型是刻畫(huà)生物種群動(dòng)力學(xué)中食物與獵物相互作用以及化學(xué)反應(yīng)和微生物學(xué)中的催化劑與抑制劑相互反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．利用偏微分方程研究捕食模型，已經(jīng)引起了應(yīng)用數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的極大興趣，這已成為非線性偏微分方程研究領(lǐng)域中的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容． 本文討論來(lái)自生物種群動(dòng)力學(xué)的幾類具有反應(yīng)擴(kuò)散的捕食模型的定性性質(zhì)．對(duì)于齊次Dirichlet邊界條件，重點(diǎn)是分析平衡態(tài)問(wèn)題正解存在性、穩(wěn)定性、惟一性或多解性；對(duì)于齊次Neumann邊界條件，重點(diǎn)

2、是研究擴(kuò)散和交錯(cuò)擴(kuò)散對(duì)模式生成(非常數(shù)正平衡解或空間參差平衡態(tài))的影響，同時(shí)考慮了初邊值問(wèn)題解的大時(shí)間性質(zhì)．對(duì)于平衡態(tài)問(wèn)題，我們的數(shù)學(xué)工具主要是拓?fù)涠壤碚摗⒎种Ю碚摵途€性化穩(wěn)定性理論，對(duì)于初邊值問(wèn)題主要是比較原理和迭代技術(shù)． 本文首先考察了帶有Beddington-DeAngelis型響應(yīng)函數(shù)的捕食模型．對(duì)應(yīng)于齊次Dirichlet邊界條件，我們給出了平衡態(tài)問(wèn)題正解存在的充分必要條件，另外當(dāng)獵物相互干擾的程度足夠強(qiáng)時(shí)，通過(guò)對(duì)

3、極限方程的研究，給出了正解的惟一性和漸近穩(wěn)定性．對(duì)應(yīng)于齊次Neumann邊界條件，借助于改進(jìn)了的先驗(yàn)估計(jì)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，給出了惟一的正常數(shù)平衡態(tài)的全局穩(wěn)定性，另外分別應(yīng)用能量方法和隱函數(shù)定理，給出了平衡態(tài)問(wèn)題的正解的惟一性，改進(jìn)和補(bǔ)充了已有的一些結(jié)果． 隨后，我們分別考察了一個(gè)三種群和一個(gè)兩種群的捕食模型．對(duì)于三種群捕食模型，應(yīng)用分支理論，我們給出正解的存在性、穩(wěn)定性、惟一性或多解性．對(duì)于兩種群捕食模型，借

4、助于比較原理，我們建立了一種迭代格式，得到了正常數(shù)平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性．應(yīng)用拓?fù)涠壤碚?，我們揭示了擴(kuò)散導(dǎo)致的平衡態(tài)模式．特別地，在空間一維區(qū)域上，借助于分支理論和線性化穩(wěn)定性理論，通過(guò)分析退化正解的分支，我們研究了非最后，我們分別考慮了帶有不同生物學(xué)意義的交錯(cuò)擴(kuò)散的捕食模型，即帶有交錯(cuò)擴(kuò)散的Lotka-Volterra捕食模型和帶有交錯(cuò)擴(kuò)散和比率依賴型響應(yīng)函數(shù)的捕食模型．對(duì)于前者，我們給出了正解的存在性與不存在性．對(duì)于后者，我們的結(jié)果