群代數(shù)的雙曲模.pdf

1、本文研究的問題是:如何判定一個有限群在任意一個有限域上的對稱模和辛模何時恰為雙曲模,得到了三個主要結(jié)果.
　　 第一個主要結(jié)果是給出了奇數(shù)階群的雙曲模判別方法,不僅將其約化為循環(huán)子群,而且得到了一個特征多項式判據(jù).
　　 定理A.設(shè)G為奇數(shù)階群,F為有限域且|F|=q.如果V是一個辛FG-模,或者是一個對稱FG-模但存在一個自正交的F-子空間,則下述條件彼此等價:
　　 (1)V是雙曲模.
　　 (2)V

2、c是雙曲模,其中C取遍G的所有循環(huán)子群.
　　 (3)對任意i≥1,G的每個∏i(q)-元在V上的特征多項式恰為完全平方.
　　 本文第二個主要結(jié)果是:解決了偶數(shù)階可解群在特征2域上的雙曲模判別,將其歸結(jié)為奇數(shù)階循環(huán)子群和“擬二面體子群”,還可進(jìn)一步約化為所謂的“F-特殊的元素”.定理B.設(shè)G為可解群,F為特征2的有限域,V是一個對稱或辛FG-模,則下述條件等價:
　　 (1)V是雙曲模.
　　 (2)V

3、D是雙曲模,其中D取遍G的所有奇數(shù)階循環(huán)子群和擬二面體子群.
　　 (3)G中所有F-特殊的元素在V上的特征多項式均為完全平方.
　　 本文第三個主要結(jié)果是:確定了半單對稱模和半單辛模的等距型及其雙曲性.定理C.設(shè)V是一個半單的對稱FG-模,或半單的辛FG-模,其合成長為n.再設(shè)U是一個單FG-模,使得V的每個單子模均同構(gòu)于U或U*.則V的等距型和雙曲性可如下確定:
　　 (1)如果U不是自對偶模,則V≡(U(⊙

4、)U*)k⊥為k個對稱偶或辛偶的正交直和,并且V自動是雙曲模.
　　 (2)如果U是自對偶模但不是絕對自對偶的,則V≡(U,f)n⊥,其中f∈(B)G(U)為等距唯一的對稱型或辛型.此時V是雙曲模當(dāng)且僅當(dāng)2|n.
　　 (3)如果U是絕對自對偶單模且charF=2,則V≡(U(⊙)U*)k⊥或(U,f)n⊥,其中f∈(B)G(U)為等距唯一的對稱型或辛型.此時V是雙曲模當(dāng)且僅當(dāng)2|n.
　　 (4)如果U是絕對自

5、對偶單模,char F≠2,并且當(dāng)V為對稱模時U為辛模,當(dāng)V為辛模時U為對稱模,則V≡(U(⊙)U-)k⊥,自動為雙曲模.
　　 (5)如果U是絕對自對偶單模,char F≠2,并且當(dāng)V為對稱?；蛐聊r,相應(yīng)地U亦為對稱?；蛐聊?則V≡(U,f)n或(U,f)n-1(U,f')其中f,f'∈(B)G(U)不等距;進(jìn)而,前者為雙曲模當(dāng)且僅當(dāng)2|n且(-1)n/2∈E2,后者為雙曲模當(dāng)且僅當(dāng)2|n禮且(-1)n/2(∈)E2,其中E