B(H)空間中的全可導(dǎo)點(diǎn).pdf

1、算子代數(shù)理論產(chǎn)生于20世紀(jì)30年代，是泛函分析中一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域。它與物理學(xué)，量子力學(xué)，非交換幾何，線性系統(tǒng)，控制理論，數(shù)論和其他一些重要的數(shù)學(xué)分支都有廣泛的聯(lián)系和互相滲透。伴隨著它在其他學(xué)科中的應(yīng)用，這一理論有了很大發(fā)展，已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)令人關(guān)注的分支。而近年來(lái)，算子代數(shù)中導(dǎo)子的特征的刻畫(huà)已經(jīng)成為算子代數(shù)領(lǐng)域中的活躍分支，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了廣泛的研究并且取得了很多科研成果。在1990年，D.R.Larson和R.

2、V.Kadison各自獨(dú)立地提出了局部導(dǎo)子的概念。同年，Larson證明了：Banach空間中的算子空間上的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子。在1990年，Kadison 證明了：Von Neumann代數(shù)中的每個(gè)范數(shù)拓?fù)溥B續(xù)下的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子。后來(lái)，荊武、魯世杰和李鵬同證明了：套代數(shù)中的每一個(gè)在0點(diǎn)處可導(dǎo)的線性映射φ(其中φ滿足φ(Ι)=0)是內(nèi)導(dǎo)子。從2007年至2009年，朱軍和熊昌萍證明了：(1)套代數(shù)中的每一個(gè)可逆算子是關(guān)于強(qiáng)算子拓?fù)溥B續(xù)下的全

3、可導(dǎo)點(diǎn)；(2)算子矩陣E=[I000]是二階算子矩陣代數(shù)中的全可導(dǎo)點(diǎn)(其中I是可逆算子)；(3)任何一個(gè)上三角矩陣G是上三角矩陣代數(shù)中的一個(gè)全可導(dǎo)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)G ≠0；(4)任何一個(gè)n×n的矩陣G是n×n矩陣代數(shù)中的一個(gè)全可導(dǎo)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)G ≠0。同年，陸方言證明了：在Banach空間上，如果X是該空間中左(或右)可逆的元，δ是連續(xù)的且在X處可導(dǎo)的線性映射，則δ是Jordan導(dǎo)子。在2009年，荊武證明了：在無(wú)限維的Hilbert空間上，0

4、是B(H)空間上的廣義Jordan 全可導(dǎo)點(diǎn)；并且他還證明了：在Hilbert空間上，I是B(H)空間上的廣義Jordan全可導(dǎo)點(diǎn)。在這些科研成果的啟發(fā)和引導(dǎo)下，本文考慮將這些結(jié)果推廣到二階算子矩陣代數(shù)上。
　　 本文共有二章:
　　 第一章介紹文中涉及的相關(guān)概念，記號(hào)以及一些常用的基本定理和性質(zhì)。
　　 第二章是正文部分討論了B(H)空間上的全可導(dǎo)點(diǎn)的一些結(jié)論，探討二階算子矩陣代數(shù)中的全可導(dǎo)點(diǎn)。
　　

5、在本文中用H表示復(fù)可分的Hilbert空間，用B(H)表示H上的有界線性算子全體，用(-)A表示B(H)的算子子代數(shù)，用:φ(-)A →(-)A表示一個(gè)線性映射。如果(A)S,T ∈(-)A且ST=P都有φ(ST)=φ(S)T+Sφ(T)，則稱線性映射φ：(-)A→(-)A在點(diǎn)P處可導(dǎo)。設(shè)P∈(-)A，如果(-)A中的每個(gè)在P處可導(dǎo)的線性映射都是一個(gè)導(dǎo)子,則稱P是全可導(dǎo)點(diǎn)。設(shè)P∈(-)A，如果每一個(gè)范數(shù)拓?fù)?或強(qiáng)算子拓?fù)涞?連續(xù)下的在P

6、處可導(dǎo)的線性映射都是一個(gè)導(dǎo)子,則稱P是一個(gè)關(guān)于范數(shù)拓?fù)?或強(qiáng)算子拓?fù)涞?連續(xù)下的全可導(dǎo)點(diǎn)。
　　 在本文中，用M表示H的閉子空間，每一個(gè)二階算子矩陣都是關(guān)于分解H=M⊕M⊥(其中dimM =dimM⊥)下對(duì)應(yīng)的二階算子矩陣。假如用A表示所有二階算子矩陣構(gòu)成的代數(shù)，即：A={[XYZW]:(A)X=B(M,M)Y∈(M⊥，M)，W∈(M，M⊥)，Z∈B(M⊥，M⊥)}。
　　 本文證明了：如果二階算子矩陣(-)G=[G00