不等式證明的若干方法畢業(yè)論文

1、<p>　　貴州民族大學(xué)人文科技學(xué)院 </p><p>　　信息與計(jì)算科學(xué)2009級(jí)鄧向江</p><p><b>　　指導(dǎo)教師：朱克超</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p>　　內(nèi)容摘要...................................

2、.................................................................................4</p><p>　　Abstract...........................................................................................................

3、............4</p><p>　　1 緒論..........................................................................................................................4</p><p>　　2預(yù)備知識(shí).............................

4、......................................................................................5</p><p>　　3不等式證明的常用方法...........................................................................................8</p&

5、gt;<p>　　3.1分析法............................................................................................................8 </p><p>　　3.2比較法........................................................

6、....................................................8</p><p>　　3.3反證法...........................................................................................................9</p><p>　　3.4等式法.

7、..........................................................................................................10</p><p>　　3.5判別式法..................................................................................

8、.....................10</p><p>　　3.6換元法...........................................................................................................10</p><p>　　3.7分解法..............................

9、.............................................................................11</p><p>　　3.8作商法..........................................................................................................12<

10、/p><p>　　3.9迭合法..........................................................................................................12</p><p>　　3.10三角代換法.......................................................

11、........................................13</p><p>　　3.11數(shù)學(xué)歸納法...............................................................................................14</p><p>　　3.12放縮法...................

12、.....................................................................................15 </p><p>　　3.13綜合法..................................................................................................

13、......17</p><p>　　結(jié)語............................................................................................................................18</p><p>　　參考文獻(xiàn)..................................

14、..................................................................................18</p><p>　　成果申明.............................................................................................................

15、.......19</p><p>　　致謝............................................................................................................................20</p><p>　　不等式證明的若干方法</p><p><b&

16、gt;　　鄧 向 江</b></p><p>　　內(nèi)容摘要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容.這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn)，而不等式的證明則是不等式知識(shí)的重要組成部分.本文介紹討論了一些證明不等式的方法，比如在初等不等式的證明中經(jīng)常使用的比較法、作商法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法、換元法、判別式法等等.并針對(duì)每一種方法舉例分析討論.熟練掌握這些證明不等式

17、方法，并靈活運(yùn)用常用不等式證明方法，對(duì)我們以后學(xué)習(xí)不等式證明有大有裨益.</p><p>　　關(guān)鍵詞：比較法 分析法 作商法 綜合法 反證法 放縮法 </p><p>　　Abstract:In the process of mathematics leaming. proving the inequality is a very important content. These con

18、tents are well represented in the elementary mathematics and higher mathematics, and proof of inequality is an important part of inequality of knowledge. This paper introduces and discusses some inequality proof method,

19、for example, often used in the proof of inequality. In comparison, the commercial law, analysis, synthesis, induction, reduction to absurdity, scaling method, substitution</p><p>　　Keywords:Comparison method

20、 analysis method the commercial law synthesis method reduction to absurdity scaling law </p><p><b>　　1.緒論</b></p><p>　　在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，不等式證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容

21、，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).在數(shù)量關(guān)系上，雖然不等關(guān)系要比相等關(guān)系更加廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對(duì)于不等式的認(rèn)識(shí)要比方程要遲的多.直到17世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.</p><p>　　而回顧數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程，不等式的證明問題，由于題型多變、方法多樣、技巧性強(qiáng)，在證明不等式前，往往需要依據(jù)題設(shè)和特征不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方

22、法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn)，通過揭示問題的本質(zhì)特征，使得難解性問題轉(zhuǎn)化為可解性問題.同時(shí)加上無固定的規(guī)律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運(yùn)用，也是各種思想方法的集中體現(xiàn).因此熟練掌握不等式證明的幾種方法，并能靈活運(yùn)用常用的證明方法，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有著非常重要的意義.</p><p><b>　　2.預(yù)備知識(shí)</b></p>

23、<p>　　不等式的性質(zhì)是不等式變形的理論根據(jù)，因此不僅要明確不等式的性質(zhì)是什么，更重要的是要明確性質(zhì)有什么用，因此，接功能為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)不等式性質(zhì)予以梳理，可分為三類：</p><p>　　第一類，是側(cè)重于理論指導(dǎo)的性質(zhì)；</p><p>　　第二類，是對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行等價(jià)變形的依據(jù)；</p><p>　　第三類，是對(duì)給出的兩個(gè)不等式進(jìn)行變形的依據(jù).這類性

24、質(zhì)由于不是等價(jià)變形，故不能用于解不等式.</p><p>　　運(yùn)用不等式進(jìn)行處理有關(guān)大小關(guān)系問題時(shí)，應(yīng)注意常常還要運(yùn)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作配合.</p><p>　　不等式的證明方法有：</p><p>　　分析法，比較法，反證法，等式法，判別式法，換元法，分解法，作商法，迭合法，三角代換法，數(shù)學(xué)歸納法，放縮法，綜合法.</p><p>　　(1

25、)分析法，分析法是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，一是難在初學(xué)時(shí)不易理解它的本質(zhì)是從結(jié)論分析出是結(jié)論成立的充分條件，二是不易正確使用連接有關(guān)分析推理步步驟的關(guān)系詞..</p><p>　　分析法是證明不等式時(shí)一種常用的得方法，當(dāng)證明不知道如何入手時(shí)，有時(shí)候可以運(yùn)用分析法而獲得解決，特別對(duì)于條件簡(jiǎn)單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更是行之有效.</p><p>　　(2)比較法是證明不等式最重要的一直基本方法.比較法

26、分為：作商法和作差法.</p><p>　　作差法：若,則.它的三個(gè)步驟：作差——變形——判斷符號(hào)（與零的大?。Y(jié)論.</p><p><b>　　反證法</b></p><p>　　反證法是根據(jù)正難則反的原理，即如果證明有困難時(shí)，或者直接證明需要分多鐘情況而反面只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法，反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，而且在代數(shù)

27、中也經(jīng)常出現(xiàn)，用反證法證明不等式就是最好的應(yīng)用，要證明不等式A>B,先假設(shè)AB，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)，得以證明原不等式成立.</p><p><b>　　等式法</b></p><p>　　應(yīng)用一些等式的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.</p><p><b>　　判別式法</

28、b></p><p>　　通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.當(dāng)可以判斷方程有沒有根以及有幾個(gè)根，b2-4ac<0無根，b2-4ac=0有兩個(gè)相等根即一個(gè)根，b2-4ac>0有兩個(gè)不相等根.</p><p><b>　　換元法</b></p><p>　　所謂的換

29、元法就是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)拇孔儞Q，從而化繁為簡(jiǎn)，或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化，關(guān)健是制造和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，，變得容易處理.</p><p><b>　　分解法</b></p><p>　　按照一定的法則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的

30、基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.</p><p><b>　?。?）作商法</b></p><p>　　作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時(shí)，通過作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小.即：若，則： ＞1 ； ＝1 ； ＜1 　　 它的三個(gè)步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.</p><p><b&

31、gt;　　迭合法</b></p><p>　　把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證.</p><p><b>　　三角代換法</b></p><p>　　借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.</p><p>　　常見的三角代換法有：

32、</p><p><b>　　1.若，可設(shè)</b></p><p><b>　　2.，可設(shè)，</b></p><p><b>　　3.若可設(shè)</b></p><p><b>　　(11)數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　數(shù)學(xué)歸

33、納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地應(yīng)用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他形式在一個(gè)無窮序列是成立的.</p><p>　　用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟是：</p><p>　　一，證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)，命題成立，第一步就獲得了遞推的基礎(chǔ)，但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的普遍性，在第一步中，考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了，沒有必要再考察幾個(gè)正整數(shù)，即使命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)都成立，也

34、不能保證命題對(duì)其他正整數(shù)也成立.</p><p>　　二，假設(shè)命題成立，證明當(dāng)命題也成立，證明了第二步，就獲得了遞推的依據(jù)，但沒有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ)，只有把第一步和第二步結(jié)合起來，才能獲得普遍性的結(jié)論.</p><p>　　三，下結(jié)論，命題對(duì)從開始的所有正整數(shù)都成立.</p><p><b>　　放縮法</b></p>&l

35、t;p>　　放縮法就是在證明不等式中，利用不等式的傳遞性，做適當(dāng)?shù)姆趴s或縮小，證明比原不等式更好的不等式來代替原不等式的證明，放縮法的目的性強(qiáng)，應(yīng)適當(dāng)好處，同時(shí)在放縮時(shí)必須時(shí)刻注意放縮的跨度，不能放過頭，也不能放的不夠適度，否則不能達(dá)到目的.</p><p>　　因此，放縮法是一個(gè)極容易掌握的難點(diǎn)，真正考它的機(jī)會(huì)不多，掌握放縮法的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的基本性質(zhì)及代數(shù)式的變形方法，目的性要明確.</p&

36、gt;<p><b>　　綜合法</b></p><p>　　綜合法就是由已知條件或已知不等式出發(fā)，通過一系列的推出變換，推導(dǎo)出所求的不等式.利用綜合法由因果證明不等式，即要推揭示出條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，因此要著力于分析已知與求證之間的差異和聯(lián)系，不等式兩邊的差異和聯(lián)系，再分析不等式左右兩端的差異后，合理運(yùn)用已知條件，進(jìn)行有效的變換是證明不等式關(guān)鍵.

37、 </p><p>　　3.不等式證明的常用方法</p><p><b>　　3.1分析法</b></p><p>　　(1)從求證的不等式出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分條件，直至所需條件被確認(rèn)成立，就斷定求證的不等式成立，這種證明方法就叫分析法.</p><p>　　(2)所分析的方法是“執(zhí)果導(dǎo)因”

38、：從求證的不等式出發(fā)，探索使結(jié)論成立的充分條件直至已成立的不等式,它與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.</p><p>　　(3)用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是：</p><p>　　,已知B逐步推演不等式成立的條件A.</p><p>　　(4)分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的充分條件，要正確使用有關(guān)步驟的關(guān)鍵詞.</p><p>　　(

39、5)分析法是證明不等式的一直常用方法，當(dāng)證明不知道如何入手時(shí)，這時(shí)候運(yùn)用分析法就有可能獲得解決.</p><p><b>　　例3.1.1 .</b></p><p>　　證明：因?yàn)槎际钦龜?shù)，所以要證.</p><p>　　只需證,即證.即證.</p><p>　　即證.因?yàn)槌闪?，所以成?</p>&l

40、t;p><b>　　3.2比較法</b></p><p>　　比較法是證明不等式最重要的一直基本方法.比較法分為：作商法和作差法.</p><p>　　作差法：若,則. </p><p>　　它的三個(gè)步驟：作差——變形——判斷符號(hào)（與零的大小）——結(jié)論.作差法是當(dāng)要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時(shí)，通過作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為

41、定性判斷左——右的符號(hào).從而降低問題的難難度，作差是化歸，變形是手段，變形的過程是因式分解，把差式變形為若干因子的成乘積或若干個(gè)完全平方的和，進(jìn)而判定其符號(hào)，得出結(jié)論.</p><p>　　例3.2.1求證：.</p><p><b>　　證明：因?yàn)?</b></p><p><b>　　所以.</b></p>

42、<p><b>　?。?）作商法：若.</b></p><p>　　它的的三個(gè)步驟；作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.作商法是當(dāng)不等式的兩邊為正的乘積的形式時(shí)，通過作商法把證明左/右與1的大小.</p><p>　　例3.2.2 設(shè)，求證：.</p><p>　　證明：因?yàn)?， 所以.而， 故 .</p>&

43、lt;p><b>　　3.3反證法</b></p><p>　　反證法是假設(shè)要求證的結(jié)果是對(duì)的,根據(jù)結(jié)果推理得出與現(xiàn)有已知條件不符的結(jié)果,即證明要求證結(jié)果是錯(cuò)誤的,即反證法,就是從結(jié)果推條件,和一般的由條件求結(jié)果的順序相反. 用反證法證題一般分為三個(gè)步驟：</p><p>　　假設(shè)命題的結(jié)論不成立.</p><p>　　2、從這個(gè)結(jié)論出發(fā)

44、，經(jīng)過推理論證，得出矛盾.</p><p>　　3、由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．即：提出假設(shè)——推出矛盾——肯定結(jié)論. </p><p>　　例3.3.1已知，且 </p><p>　　求證： 中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).</p><p>　　選題意圖：本題考查利用反證法證明不等式.</p><p>　　證明

45、：假設(shè) 都是非負(fù)數(shù)，</p><p><b>　　∵，∴ 　　</b></p><p><b>　　∴.這與已知矛盾.</b></p><p>　　∴中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).</p><p><b>　　3.4等式法</b></p><p>　　應(yīng)用一些等式

46、的結(jié)論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明.</p><p>　　例3.4.1[1]為的三邊長(zhǎng)，求證：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明:由海倫公式，其中.</p><p>　　兩邊平方，移項(xiàng)整理得</p><p><b>　　.</b>

47、</p><p>　　又因?yàn)? 所以得. </p><p><b>　　3.5判別式法</b></p><p>　　通過構(gòu)造一元二次方程，利用關(guān)于某一變?cè)亩稳?xiàng)式有實(shí)根時(shí)判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式.當(dāng)可以判斷方程有沒有根以及有幾個(gè)根，b2-4ac<0無根，b2-4ac=0有兩個(gè)相等根即一個(gè)根，b2-4ac>0有兩個(gè)

48、不相等根. </p><p>　　例3.5.1設(shè)，且求證：.</p><p>　　證明：設(shè)，則.將代入中得，</p><p><b>　　即. 因?yàn)?，?lt;/b></p><p><b>　　由，得</b></p><p><b>　　.</b></

49、p><p><b>　　解得 ，故.</b></p><p><b>　　3.6換元法</b></p><p>　　換元法是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本方法.在不等式的證明過程中，按照所征不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將不等式中的變量作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，可使不等式的結(jié)構(gòu)明朗.從而使不等式證明變得簡(jiǎn)單易證明，這種方法稱為換元法.換元法的目的是把命題化簡(jiǎn)、化熟

50、、把復(fù)雜的、不熟悉的問題簡(jiǎn)單化，化為熟悉的命題使需解決問題容易化.方法有：對(duì)稱換元法，化已為簡(jiǎn)；增量換元法，若一變量在某一常量附近變化時(shí)，可設(shè)這一變量為該常量加上另一個(gè)變量，從不等式的結(jié)構(gòu)整體把握，適度進(jìn)行變量代換，可是問題簡(jiǎn)單明了.</p><p>　　例3.6.1 設(shè)，求證：.</p><p>　　分析：結(jié)果分析我們發(fā)現(xiàn)，把中的兩個(gè)互換，不等式不變，說明這是個(gè)對(duì)稱不等式，如果我們令,則

51、原不等式可化為：.這是個(gè)簡(jiǎn)單而且容易與已知不等式聯(lián)系的不等式，因而可以按上述換元證明不等式.</p><p><b>　　證明：令 則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　∵,∴當(dāng)時(shí)，有.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，有(否則中必有

52、兩個(gè)不為正值，不妨設(shè) ,</p><p><b>　　則 ,這與矛盾），</b></p><p><b>　　因此.</b></p><p><b>　　得.</b></p><p><b>　　把代入上式得:.</b></p><p&

53、gt;　　例3.6.2增量換元法已知,求證：.</p><p>　　證明：設(shè),顯然. 則</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　故.</b></p><p><b>　　3.7分解法</b></p><p>　　按照一定的法

54、則，把一個(gè)數(shù)或式分解為幾個(gè)數(shù)或式，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易解的基本問題，以便分而治之，各個(gè)擊破，從而達(dá)到證明不等式的目的.</p><p>　　例3.7 ，且，求證：.</p><p><b>　　證明：因?yàn)?</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所

55、以 ,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　3.8作商法</b></p><p>　　若，則：.它的三個(gè)步驟：作商——變形——判斷與1的大小——結(jié)論.　　作商法是當(dāng)不等式兩邊為正的乘積形式時(shí)，通過作商把其轉(zhuǎn)化為證明左/右與1的大小..</p><p&

56、gt;　　例3.8.1 設(shè)，求證：.</p><p>　　由于要比較的兩試成冪的結(jié)構(gòu)，故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，故可采用作商比較法來證明.</p><p>　　證明：作商得：，又指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，，.即 .</b></p><p>

57、;<b>　　3.9迭合法</b></p><p>　　把所要證明的結(jié)論先分解為幾個(gè)較簡(jiǎn)單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質(zhì)，使原不等式獲證.</p><p>　　例3.9.1已知：，，求證: .</p><p><b>　　證明：因?yàn)?，，所?lt;/b></p><p>&l

58、t;b>　　.</b></p><p><b>　　由柯西不等式</b></p><p><b>　　所以原不等式獲證.</b></p><p><b>　　3.10三角代換法</b></p><p>　　借助三角變換，在證題中可使某些問題變易.常見的三角代換

59、法有：</p><p><b>　　1.若，可設(shè).</b></p><p><b>　　2.，可設(shè)，.</b></p><p><b>　　3.若可設(shè).</b></p><p>　　例3.10.1已知求證：</p><p><b>　　證明：令

60、,則.</b></p><p><b>　　原不等式等價(jià)于.</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b&g

61、t;　　.</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　則原不等式成立.</b></p><p>　　例3.10.2求證.</p><p><b>　　證明：設(shè)，令</b></p><p><b>　

62、　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以原不等式得證.</b></p><p>　　例3.10.3已知:求證：</p><p>　　證明：原式可化為，令則&

63、lt;/p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p><b>　　證明完畢. </b></p><p><b>　　3.11數(shù)學(xué)歸納法</b></p><p>　　當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不

64、小于某正整數(shù)的所有正整數(shù)都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟：</p><p><b>　　證明當(dāng)時(shí)命題成立</b></p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)，（ 且）時(shí)命題成立，證明時(shí)命題成立.</p><p>　　在完成這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法就稱為數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)要分兩個(gè)步驟，缺一不可.</p

65、><p>　　一．證明第一步，就獲得遞推的基礎(chǔ)，但僅僅靠這一步是不能說明結(jié)論的正確性.在這一步中，只需要驗(yàn)證命題結(jié)論成立的最小的正數(shù)就可以了，沒有必要驗(yàn)證命題對(duì)幾個(gè)正整數(shù)的成立.</p><p>　　二．證明的第二步，就獲得了推理的依據(jù)，僅僅有第二步?jīng)]有第一步，則失去了遞推的基礎(chǔ)；而只有第一步?jīng)]有第二步，就有可能得出不正確的結(jié)論，因?yàn)閱螁慰康谝徊剑覀儫o法遞推下去，所以我們無法判斷命題對(duì)是否正

66、確.在第二步中命題成立，可以作為條件加以應(yīng)用，時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件，公理，定理，定義加以證明.完成一步，二步后最后對(duì)命題做一個(gè)總結(jié).</p><p>　　例3.11.1觀察下面兩個(gè)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起始終小于？證明你的結(jié)論.</p><p>　　證明：(1)當(dāng)時(shí)，有命題成立.</p><p>　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即有.當(dāng)時(shí)，即當(dāng) 時(shí)命題成立.又(1)

67、、(2)可知，.所以從第5項(xiàng)起滿足始終小于.</p><p>　　例3.11.2證明不等式.</p><p>　　證明：(1)當(dāng)時(shí)，上式左邊右邊，不等式成立.</p><p>　　(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即有,即當(dāng)時(shí) </p><p>　　不等式成立，又由可知，不等式對(duì)一切正整數(shù)均成立.</p><p>　　例3.1

68、1.3設(shè)，證明</p><p><b>　　.</b></p><p>　　證明：當(dāng)時(shí)，，時(shí)不等式成立.</p><p>　　假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即.</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)</b></p><p><b>　　,</b></p>

69、<p><b>　　.</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　, .</b></p><p>　　即當(dāng)時(shí)，不等式成立.</p><p>　　綜上所述，對(duì)所有的，不等式恒成立.</p><p><

70、;b>　　3.12放縮法</b></p><p>　　在證題過程中，根據(jù)不等式的傳遞性，常采用舍去一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）而使不等式的各項(xiàng)之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項(xiàng)換以較大（或較小）的數(shù)，或在分式中擴(kuò)大（或縮?。┓质街械姆肿樱ɑ蚍帜福瑥亩_(dá)到證明的目的.值得注意的是“放”、“縮”得當(dāng)，不要過頭.常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補(bǔ)放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法.<

71、/p><p>　　例3.12 .1求證： .</p><p><b>　　證明 : 令</b></p><p><b>　　所以.</b></p><p>　　例3.12.2求證.</p><p><b>　　證明：由得 .</b></p>&

72、lt;p><b>　　所以原式得證.</b></p><p>　　例3.12.3（添加一些項(xiàng)或者舍棄一些項(xiàng)）已知求證：.</p><p><b>　　證明：,</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　.</b>&l

73、t;/p><p>　　例3.12.4（先放縮再求和或者先求和再放縮）函數(shù)求證：</p><p><b>　　證明：,故有</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　所以原試得證.</b></p><p>　　例3.12.5（

74、固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)）求證：.</p><p><b>　　證明：,</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　所以原式得證. </p><p><b>　　3.13綜合法</b></p><p>　　利用某些已經(jīng)

75、證明過的得不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法. </p><p>　　綜合法的思維特點(diǎn)是，又因?qū)Ч?，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的證明方法. </p><p>　　例3.13 已知：同號(hào)，求證：.</p><p>　　證明：因?yàn)閤,y.同號(hào)，所以 ,則.即.</p><p&g

76、t;<b>　　結(jié)語 </b></p><p>　　通過本文的撰寫，使我更多、更進(jìn)一步了解了不等式的證明、各種證明方法的運(yùn)用.更了解了不等式證明的重要性.不等式不僅在我們學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到，在我們的生活中也會(huì)經(jīng)常遇到.</p><p>　　在這次畢業(yè)設(shè)計(jì)過程中，我不僅學(xué)習(xí)了不等式證明的原理、各種解不等式的邏輯方法 ，雖然不等式的證明方法多種多樣，要想熟練掌握每一種方法有一

77、定的難度，但通過本文撰寫一些常用不等式證明方法后，更好地為我以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的證明打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)，現(xiàn)在我深深感受到了不等式的證明對(duì)我的重要性，所以在此我感謝朱老師對(duì)我的指導(dǎo)和關(guān)心，相信在以后的學(xué)習(xí)和實(shí)踐中我會(huì)更加努力，更好地學(xué)習(xí)好和利用好不等式.</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)：</b></p><p>　　[1]肖光基.《利用已知不等式不等式證明不等式的

78、探討》[J];四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版);1980年03期.</p><p>　　[2]黃先開.曹顯兵,等.《歷屆考研試題》.北京： 世界圖書出版公司, 2004.</p><p>　　[3]段琦.《若干積分不等式的證明及應(yīng)用》.綿陽師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)].</p><p>　　[4]譚三松、張松元.《證明不等式的基本方法》[J];零陵學(xué)院學(xué)報(bào);1980年00期

79、.</p><p>　　匡繼昌.《常用不等式》[M].濟(jì)南：山東科技出版社,2004,23-34.</p><p>　　[5]葉慧萍.《反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法》[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):89-91.</p><p>　　[6]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.《數(shù)學(xué)分析》第三版.北京:高等教育出版社，2001:176-195,200-233.</

80、p><p>　　[7]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.第三版.北京:高等教育出版社，2001:176-195,200-233.</p><p>　　[8]吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.北京:人民教育出版社,1979:57-89,118-123. </p><p>　　[9]徐利治.數(shù)學(xué)分析的方法及立體選講.北京:高等教育出版社,1986:5-7,71-88,100-112.

81、</p><p>　　[10]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法.北京:高等教育出版社,1993:142-375.</p><p>　　[11]李長(zhǎng)明.周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263.</p><p><b>　　成果聲明</b></p><p>　　本人鄭重聲明：所提交的畢業(yè)

82、論文是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下獨(dú)立研究所取得的成果，盡我所知，文中除特別標(biāo)注和致謝的地方外，學(xué)位論文中不包含其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，對(duì)本文的研究成果做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均在文中標(biāo)明.</p><p>　　如有侵犯他人著作權(quán)的行為，又本人承擔(dān)責(zé)任.</p><p><b>　　在此聲明.</b></p><p>　　簽名：鄧向江

83、 日期：2013年5月10號(hào)</p><p><b>　　致 謝</b></p><p>　　在論文的準(zhǔn)備和寫作過程中，要特別感謝朱克超老師對(duì)我的指導(dǎo)和督促，同時(shí)要感謝他的諒解和包容.沒有了朱老師就沒有我今天的論文，求學(xué)歷是艱苦的，但又是快樂的.我也要感謝我的其他老師和同學(xué)們，是他們給予我的幫助讓我走過大學(xué)的風(fēng)風(fēng)雨雨，在那些艱苦的日子里是他們激勵(lì)我、鼓勵(lì)我，讓我奮