線性數學與高中數學教育

1、2024/3/10,高二數學新增部分內容教學建議,松江區(qū)教師進修學院數學組陳萍,2024/3/10,新課本高二上的教學內容,分為三個單元:1 數列和數學歸納法(數列概念、等差數列、等比數列、數學歸納法、歸納─猜想─論證、數列極限、無窮等比數列各項和).2 高中線性數學(平面向量的坐標表示、矩陣、行列式).3 算法初步(算法概念、程序框圖、計算語句與計算程序).,2024/3/10,向量教學的作用地位,作用地位：向量是近代數學最重

2、要和基本的數學概念之一，是溝通代數、幾何、三角的橋梁。它與代數、幾何、三角的聯系將隨著向量的坐標表示逐步具體化。為了說明這種聯系，書中給出了向量在推導兩角差的余弦公式、在線性方程組解的存在性討論、在幾何證明中應用的例題。這些例題僅是一種啟示，更多具體的聯系同學們可以在探索中發(fā)現。向量實質上是坐標幾何（高中二年級第二學期將學習）的反璞歸真?？梢赃@樣說：向量是繼函數概念以外，另一個貫穿整個高中數學的核心概念。,2024/3/10,向量的教育

3、價值,向量是通過位移、力、速度等概念抽象出來的，通過向量的坐標表示，向量與代數、幾何、三角建立起廣泛的聯系。從這里可以看到數學的抽象為向量的廣泛應用打下了堅實的基礎。數學的抽象，使數學應用更加廣泛，這是辨證法。通過向量學習引導學生認識科學抽象的作用。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,史載，古希臘的亞里士多德（前384-前322）已經知道兩個力的合成，可以用平行四 邊形的法則得到。但是， 集古希臘數學大成的《幾何原本》， 沒有討論向量。

4、 以后的一千多年中，經過文藝復興時期， 牛頓創(chuàng)立微積分之后的17、18世紀， 向量的知識沒有什么變化。伽利略（1564-1642）清楚地敘述 了“平行四邊形法則”，僅此而已。 這點向量知識，形不成多少有意義的問題， 發(fā)展不成一個獨立的學科， 因而數學家沒有把向量當作一回事。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,進入19世紀， 事情開始發(fā)生變化?！皬蛿怠背洚斄舜呋瘎?。 丹麥的魏塞爾（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）發(fā)現

5、了復數的幾何表示，德國高斯（1777-1855）建立了 復平面的概念，從而使向量與復數建立起一一對應。這不但為虛數的現實化提供了可能，也為向量的發(fā)展開辟了道路。向量表示為一對有序的實數（a, b），是一個重大的進步。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,當時的數學家想到， 實數可看作一維向量， 復數可看作二維向量，那么一定還有“三維數”、“四維數”， 乃至“N維數”。令人失望的是， 哈密頓發(fā)現， 要形成有加減乘除四則運算的數系， 只能是四

6、元數， 而且不得不放棄乘法的交換律。最后發(fā)現的八元數， 連結合律也維持不了。除此而外， 其他維數的向量， 根本無法定義四則運算，談不上構成數系[1]。[1] 參見羅賢強 ,從四元數到向量:向量概念演變的歷史分析>2005年04期,2024/3/10,向量的發(fā)展史,德國數學家格拉斯曼1844年引入了n 維向量的概念。令人深思的是， N維向量既然不能成為有四則運算的數系， 那么它的結構是什么呢？這是19世紀抽象代數思想的發(fā)展的自

7、然思考。研究表明，N維向量全體，可以定義加法和減法，此外還有單個的“數”可以和向量相乘。 這就是向量空間（線性空間）的來源。 此外， 兩個向量可以有“內積”和“外積”，但是它們都沒有逆運算， 即沒有除法。 這是一個不同于“數系”的嶄新的數學結構。果然， 在向量空間的舞臺上， 產生了具有深遠影響的數學成就。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,“線性”， 是20世紀數學中使用十分廣泛的詞匯。 但是， 中國的中學數學教學中卻很少使用。

8、無論是英文還是俄文， 我們常說的“一次方程”和“一次函數”， 原本都是“線性方程（Linear Equation）”和“線性函數(Linear Function)”。至于為什么丟棄“線性”的提法，不得而知。 在大學里， 則大量流行“線性”。“ 線性代數”、“線性變換”、“線性常微分方程”、““線性偏微分方程”、“線性規(guī)劃”、“線性算子 ”、“線性泛函”、 “線性控制系統(tǒng)”、“擬線性”、“準線性”等等， 不一而足。,2024

9、/3/10,向量的發(fā)展史,相對于大學熱衷于向量空間和線性數學， 我國中學的反映比較遲緩。 1980年代， 中學里只有與復數相關的平面向量。 那里不談數量積，只有平行四邊形法則孤零零的一點內容， 不成氣候。 至于三維向量進入立體幾何， 則歷盡周折。 直到1990年代， 仍然勢均力敵（據說在國家教材審定委員會里， 4票對4票）， 遂有立體幾何分兩種版本的折中處理辦法問世。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,上海教材在陳昌平主編的力挺之下，

10、率先在1990年代初全面推行向量方法。進入21世紀以后，立體幾何采用向量方法處理，在全國范圍內也終成定局。 實際上， 現今中學數學內容，除去“數和式的運算”以及排列組合、數據處理 等少數內容， 可以分成“線性數學”和“非線性”數學兩大部分。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,那么， 向量究竟有什么威力和魅力， 使得它如此受人重視呢？說來簡單， 無非是向量“能算”。在數學上， 點的直角坐標，向量的坐標分解（投影），直角三角

11、形的正弦余弦， 復數的實部與虛部， 四位一體。它們的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐標的一種推廣。分解就是投影， 投影的量化就是正弦和余弦。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,現今的上海新課程， 在初中就出現了“平面向量”的概念。高中的解析幾何部分， 也注入了“向量幾何”的成分。 例如用向量推導平面直線方程，強調直線的方向式和法向式、直線的一般式和直線的斜率，卻不要求學生在“兩點式”、“點斜式”上下功夫。這樣做

12、，可以和將來推導空間直線方程相一致。,2024/3/10,向量的發(fā)展史,向量幾何在法國已經有很長的歷史。以下是一個初中的教學事例（取自1985年法國國民教育部數學教育委員會馬蒂內訪華講演）,2024/3/10,向量的發(fā)展史,勾股定理的證明 （事先準備知識：由一個角的兩邊的任何一點向另一邊作投影， 其壓縮的比值相同）。在角A 中，AC = αAB， AD= αAC，故 AD = α^2AB在角B 中，BC = βAB， BD

13、 = βBC，故 BD = β^2 AB。由于 AB= AD+ BD=α^2 AB +β^2 AB = （α^2 +β^2 ）AB，因此（α^2 +β^2） =1。AB^2=AC^2+BC^2.于是 。 證畢,2024/3/10,向量的發(fā)展史,這里， 將線段的投影，三角的余弦， 以及未來的向量分解和數量積等知識都擰在一起，并用來證明勾股定理， 在數學思想上更簡約、更緊密了。,2024/3/10,矩陣行列式的作用地位,陳省身先生說

14、‘數學的對象不外“數”與“形”，雖然近代的概念，已與原始的意義，相差甚遠’。這里的形和數都用了引號。這就是說“形”不僅是三維空間中見到的圖形；“數”也不僅是有理數、無理數、實數，也包括如矩形數表（矩陣）所表示的“數”。矩陣的引入使“數”的內涵擴充了。,2024/3/10,矩陣行列式的作用地位,同時可以看到矩陣有解線性方程組作為其背景，矩陣還可以表示點的坐標的變換。矩陣在今天計算機計算中有著十分重要的地位。行列式和矩陣的引入，使向量的應用

15、和表示更加簡練和方便?？偠灾仃囆辛惺揭敫咧袛祵W有三個理由：1. 矩陣是“數”概念的擴充；2. 矩陣行列式是討論解線性方程組的有效工具；3. 矩陣可以表示圖形的變換(坐標變換)。,2024/3/10,矩陣內容的教育作用,行列式是1683─1693年間引入的，矩陣是1858年引入的。在此期間，數學有著長足進步，其中數學符號的進步是數學進步的一個方面。數學符號的規(guī)范化和正確使用是數學教學的重要方面；是培養(yǎng)學生數學交流能力的重要方面

16、。同時，數學內容的簡潔表示也顯示了數學的美。圖形的矩陣變換反映了一種運動變化。,2024/3/10,為什么要學矩陣行列式,2024/3/10,行列式與幾何的聯系,2024/3/10,行列式與幾何的聯系,平面上三點共線的充分必要條件是,2024/3/10,行列式與幾何的聯系,空間三個向量共面的條件是,2024/3/10,行列式與幾何的聯系,平面上三直線共點的條件:,2024/3/10,高二線性數學的教學要求,一. 在向量方面的教學要求:

17、1. 理解基向量的作用;理解平面向量的分解定理;2. 掌握向量運算的坐標表示;掌握向量平行垂直的坐標表示;掌握求兩向量夾角的公式.3.通過例子了解向量與幾何、三角、代數的關系.,2024/3/10,高二線性數學的教學要求,二. 在矩陣行列式初步方面的教學要求:1.理解矩陣及其有關的概念(元素、行、列、零矩陣、單位矩陣等).2. 掌握兩矩陣可以進行加、減運算的條件;兩矩陣可以相乘的條件.理解矩陣乘法不滿足交換律.3. 理解為什么

18、引進矩陣.,2024/3/10,高二線性數學的教學要求,4. 掌握二階、三階行列式展開的對角線法則,三階行列式按照某一行(列)展開的方法.5.掌握二元、三元線性方程組解的行列式方法;利用行列式討論線性方程組解的存在性和唯一性.6.會用計算機(器)求行列式的值.,2024/3/10,高二線性數學的教學要求,矩陣和行列式是目前計算機常用的計算對象.著名的計算機軟件Matlab、Scilab都是以矩陣運算為基本運算的.密碼學正從軍事應用

19、走向商業(yè)和民間,密碼使用時利用矩陣進行文件的加密,當對方收到密碼文件后要利用逆矩陣來解密,才能是對方得到清晰的文本.現在矩陣論已成為一門獨立的學科.,2024/3/10,矩陣行列式課時安排,矩陣和行列式初步共9學時，其中,,,,,2024/3/10,矩陣行列式教學設計建議,1．學生學習矩陣、行列式的最大障礙是不知道為什么要學習這些概念。教師應通過引入、例題等各種途徑使學生了解學習意義。通過二元線性方程組求解的討論，引入矩陣、行列式概念

20、，使學生了解矩陣、行列式產生的背景。通過例子了解學習矩陣的好處。,2024/3/10,矩陣行列式教學設計建議,2．矩陣概念的引入使“數”的內涵更加豐富了。在小學里，整數、小數是“數”；在初中里，有理數、實數是“數”，引進矩陣后平面向量的坐標（有序數對）是“數”，矩形數表也是“數”。為了使學生明了矩陣是“數”概念的擴張應該通過例題，讓學生知道用矩陣計算的好處。,2024/3/10,矩陣行列式教學設計建議,3．通過例子，讓學生理解向量向量的

21、矩陣變換的含義。了解關于直線對稱的變換、關于軸對稱、關于軸對稱的變換。4．把行列式計算與兩向量平行、平面上三點共線的簡潔表示聯系起來，進一步理解數學符號的意義。,2024/3/10,矩陣行列式教學設計建議,5．通過例題討論，使學生掌握用行列式討論和表示二元、三元線性方程組解的方法，掌握行列式的對角線展開法。6．引導學生用計算機（器）進行矩陣、行列式計算。學習本章的探究與實踐，對于培養(yǎng)學生用計算機進行矩陣計算和理解矩陣變換與圖形變換關

22、系是十分有益的。,2024/3/10,算法初步教學的作用地位,作用地位：古希臘數學家發(fā)明了公理化─演繹方法，對數學發(fā)展，甚至于對科學的發(fā)展是一個偉大的貢獻。與古希臘數學相比，中世紀的東方數學表現出強烈的算法精神。中國古代數學以算法見長。算法是數學的組成部分。算法數學與論證數學的結合產生了現代數學。算法體現與演繹思想不同思想方法，它用符合邏輯程序的計算步驟來解決數學問題。在計算機已進入生活各個領域的今天，算法知識已成為公民必備的修養(yǎng)。,2

23、024/3/10,算法初步教學的作用地位,一位專家在的序言中寫道:與時俱進,數學也不例外.這不,一個全新的數學內容─算法.在21世紀初,就大踏步地進入中學數學,成為高中生必修課程的一部分.與中學里的微積分幾進幾出相比.算法進中學要順利得多.原因何在? 信息時代的要求使然.,2024/3/10,算法初步的教育價值,算法對于培養(yǎng)學生邏輯思維能力和用圖表示計算機程序關系的能力。對培養(yǎng)學生適應現代社會生活起到重要作用。通過算法學習可以使學生進

24、一步了解中國古代的數學成就，樹立民族自豪感。,2024/3/10,算法初步的教學要求,1.通過對于解決具體問題的分析,理解什么是算法以及算法解題的過程.2. 理解和掌握解題的程序框圖.根據計算步驟能畫出程序框圖;反過來,根據框圖能寫出其解題過程.3. 對于計算機語言和程序編寫暫時不作為學生必學內容.4. 希望各區(qū)在統(tǒng)考中增加算法的考題.,2024/3/10,算法初步的參考書,1.袁震東、何紅春主編:,華東師范大學出版社, 2007