隨機變數(shù)的機率分配

1、第 5 章,離散機率分配,統(tǒng)計實例,花旗銀行是花旗集團的一員，提供多樣化的金融服務(wù)。花旗銀行在花旗卡片銀行中心內(nèi)設(shè)置了許多最先進的自動櫃員機(ATMs)，每週7天，每天24小時為客戶提供服務(wù)?；ㄆ煦y行的ATM不只是提款機，有80% 左右的交易都是在ATM完成的。因此，花旗銀行定期進行服務(wù)產(chǎn)能調(diào)查，以分析顧客等候時間以及增設(shè)自動櫃員機的必要性。由花旗銀行蒐集的資料顯示顧客到達的時間是一個卜瓦松分配，利用卜瓦松分配，花旗銀行

2、可以計算任何時間到達卡片銀行中心的顧客人數(shù)的機率，以決定最適的自動櫃員機數(shù)目。,離散機率分配,5.1 隨機變數(shù),5.2 離散機率分配,5.3 期望值與變異數(shù),5.4 二項機率分配,5.5 卜瓦松機率分配,5.6 超幾何機率分配,,,,,,,隨機變數(shù)是實驗結(jié)果的數(shù)值描述。,,,隨機變數(shù)的可能數(shù)值若是有限個數(shù)值或一個無限的數(shù)列，如0, 1, 2, ...，則稱為離散隨機變數(shù)(discrete

3、 random variable)。,可指派成一區(qū)間或數(shù)個區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值到一隨機變數(shù)，此隨機變數(shù)稱為連續(xù)隨機變數(shù)(continuous random variable)。,,,5.1 隨機變數(shù),離散隨機變數(shù)實例,例如將會計師資格考試視為一個實驗，該考試分為四個項目。令離散隨機變數(shù) x＝已通過的會計師資格考試項目的數(shù)目，則此隨機變數(shù)的可能數(shù)值為0, 1, 2, 3, 4。將汽車到達收費站視為一個實驗，令隨機變數(shù)x＝一天內(nèi)

4、到達收費站的車輛數(shù)，則x的可能值為0, 1, 2, ...，因此x為一離散隨機變數(shù)，它可能是無窮數(shù)列中的任一個值。,連續(xù)隨機變數(shù)實例,某保險公司正在觀察保戶的來電情況，令x＝ 兩通來電的時間間隔，則此一隨機變數(shù)的範圍為x > 0。事實上，x的可能值有無限多個，如1.26分、2.751分、4.3333分等。長達90哩的某段公路，緊急救護站位於公路一端，我們定義一隨機變數(shù)x＝ 公路上發(fā)生意外事件的位置，則 x 為一連續(xù)隨機變數(shù)，其值

5、的範圍為0 < x < 90。,,評註,決定隨機變數(shù)為離散或連續(xù)隨機變數(shù)的一種方法是以一線段代表隨機變數(shù)的可能範圍，將隨機變數(shù)的可能值視為線段上的點，在線上選擇兩個表示隨機變數(shù)值的點，如果兩點間的所有點都是隨機變數(shù)的可能值，則該隨機變數(shù)為連續(xù)變數(shù)。,隨機變數(shù)的機率分配(probability distribution)描述不同隨機變數(shù)值的機率分配狀況。,離散隨機變數(shù) x 的機率分配是由機率函數(shù)(probability f

6、unction)來定義的。,,,5.2 離散機率分配,機率函數(shù)記作 f(x)，機率函數(shù)讓我們知道各隨機變數(shù)值的出現(xiàn)機率。,離散機率函數(shù)的必要條件 :,,,f(x) > 0,?f(x) = 1,離散機率分配,離散機率分配實例,DiCarlo汽車銷售公司根據(jù)過去300天的銷售狀況得知，有54天沒有賣出任何汽車，有117天賣出1輛汽車，有72天賣出2輛，有42天賣出3輛，有12天賣出4輛，有3天賣出5輛。表5.3所示該汽車銷售公司

7、每天銷售汽車數(shù)的機率分配。,離散機率分配實例,機率函數(shù)也可以用圖形的方式來表達。圖5.1中隨機變數(shù)x的值列於橫軸，相對應(yīng)的機率值列於縱軸。,,除了表和圖之外，離散隨機變數(shù)的機率函數(shù) f(x)常用公式來表達。最簡單的例子是離散型均勻機率分配(discrete uniform probability distribution)。,散型均勻機率分配,,,f(x) = 1/n,其中:n =隨機變數(shù)的可能值個數(shù),離散型均勻機率分配,,離散

8、型均勻機率分配實例,以丟擲骰子的實驗為例，定義隨機變數(shù)x為丟擲一骰子之後出現(xiàn)的點數(shù)。因此，n＝6代表可能出現(xiàn)6種隨機變數(shù)值，x ＝1, 2, 3, 4, 5, 6，可定義此隨機變數(shù)的機率函數(shù)為：f(x)＝1 / 6　　　x＝1, 2, 3, 4, 5, 6以下為隨機變數(shù)x的可能值及其對應(yīng)的機率。,x f (x)1 1/62 1/63

9、 1/64 1/65 1/66 1/6,,,離散型均勻機率分配實例,另一個例子，假設(shè)隨機變數(shù)x及其離散機率分配如下表所示。 上表的機率分配亦可由如下的公式來定義。,x f (x)1 1/102 2/10

10、3 3/104 4/10,,5.3 期望值與變異數(shù),隨機變數(shù)的期望值(expected value)或平均數(shù)來衡量隨機變數(shù)的中央位置(central location),變異數(shù)(variance)表示一組資料的分散程度,,標準差(standard deviation)定義為變異數(shù)的正平方根，記作 ?。,,,期望值與變異數(shù)實例,以5.2節(jié)DiCarlo汽車銷售公司為例

11、，我們來看看汽車銷售數(shù)量的期望值是如何計算出來的。,期望值與變異數(shù)實例,表5.5中 xf(x)欄的加總是1.5輛。因此可知，雖然每個營業(yè)日的汽車銷售量可能是0, 1, 2, 3, 4或5輛，但長期而言，汽車公司可以預(yù)期每天平均銷售1.5輛車。假設(shè)該公司每月營業(yè)30天，則可預(yù)期每月平均銷售量為 30 (1.50)＝45輛。表5.6是DiCarlo汽車公司日銷售量之機率分配的變異數(shù)計算過程。由該表可知其變異數(shù)為1.25。,期望值與變異數(shù)實

12、例,5.4 二項機率分配,二項實驗(binomial experiment)具有以下四個特性。,3.成功的機率為p，失敗的機率為1－p。每一試驗的成功和失敗機率皆維持不變。,4.每一試驗皆獨立。,2.每一試驗有兩種可能的結(jié)果，我們常以成功(success)和失敗(failure) 稱之。,1.由 n 個相同的試驗(trials)?所構(gòu)成的實驗。,,,,,二項實驗實例,圖5.2表示一個包含8個試驗的二項實驗的可能結(jié)果之一。此圖顯示的

13、是成功5次、失敗3次的情形。,二項實驗實例,在二項實驗中，我們有興趣的是n次試驗中成功的次數(shù)。令x代表成功的次數(shù)，x的可能值為0, 1, 2, 3, ... , n。由於x的可能值為有限個，因此x為一離散隨機變數(shù)。此隨機變數(shù)的機率分配稱為二項機率分配(binomial probability distribution)。,二項實驗實例,例如擲一枚硬幣5次，觀察總共出現(xiàn)幾次正面此實驗包含5個相同的試驗，每一試驗為擲一枚硬幣。每一試驗有

14、兩個可能的結(jié)果：正面或反面。我們可以定義正面表示成功，反面表示失敗。對每個試驗而言，出現(xiàn)正面的機率是0.5，出現(xiàn)反面的機率也是0.5。每一試驗皆彼此獨立，因為每一試驗彼此互不影響。因此，滿足二項實驗的特性。而我們有興趣的隨機變數(shù)x是5次試驗中正面出現(xiàn)的次數(shù)，在本例中x的可能值為0, 1, 2, 3, 4, 5。,二項實驗實例,有一保險業(yè)務(wù)員隨機拜訪10個家庭，若該家庭購買保險，則視為成功事件，不購買保險則視為失敗。依據(jù)過去的經(jīng)驗顯

15、示，家庭會購買保險的機率是0.1，現(xiàn)在看看這是否為二項實驗。我們觀察到：這個實驗含10個相同的試驗，每拜訪一個家庭視為一試驗。每一試驗有兩個可能的結(jié)果：購買保險或不購買(購買保險為成功，不購買保險為失敗)。對每一家庭而言，購買的機率可假設(shè)相同，不購買的機率亦然。購買的機率為0.1，而不購買的機率為0.9。每一試驗彼此隨機獨立，因為被拜訪的家庭是隨機選取的。,二項實驗實例,由於符合二項實驗的特性，故此例是二項實驗。隨機變數(shù)x為10

16、個受訪家庭中購買保險的家庭數(shù)，所以x的可能值為0, 1, 2, 3, ... , 10。二項實驗的第3個特性又稱為穩(wěn)定性假設(shè)(stationarity assumption)，很容易與第4個特性(試驗的獨立性)相混淆。我們特別說明如下：以前述的保險業(yè)務(wù)員為例，若業(yè)務(wù)員工作了一整天，由於身心相當疲憊，因此拜訪最後一個家庭時，該家庭購買保險的機率降為0.05。此時第3個特性(穩(wěn)定性)將不成立，因此這不是一個二項實驗，但此實驗仍符合第4個特

17、性，因為對每一家庭而言，買不買保險是獨立的。,二項實驗實例,在應(yīng)用二項實驗時，有一數(shù)學(xué)公式，稱為二項機率函數(shù)(binomial probability function)。該函數(shù)可用來計算n次試驗中成功次數(shù)x的機率，利用第4章的機率觀念，我們將以一範例來說明此公式的意義。,二項實驗實例,假設(shè)有3位顧客走進馬丁服飾店，根據(jù)過去的經(jīng)驗，店長估計每位顧客購買服飾的機率是0.3。那麼請問3人中有2人會購買的機率是多少？利用樹狀圖(見圖5.3)

18、，此實驗因每一顧客的決策為買與不買，所以實驗結(jié)果有8個。令S表成功(購買)，F(xiàn)表失敗(不購買)，而我們有興趣的是3人中有2人購買的實驗結(jié)果。接下來檢驗此實驗是否為二項實驗，看看二項實驗的4個要求條件是否皆滿足。,,二項實驗實例,此實驗有3個相同的試驗，每一試驗為顧客進入馬丁服飾店。每一試驗有2個實驗結(jié)果：購買或不購買(成功或失敗)。每一顧客購買或不購買的機率(0.3及0.7)假設(shè)皆相同。顧客間買與不買的決策是獨立的。因此，符合二

19、項實驗的定義。,二項分配,我們有興趣的是在n次試驗中所發(fā)生成功的次數(shù),令 n 次試驗中有 x 次成功的實驗結(jié)果次數(shù),,,其中: f(x) = n次試驗中x次成功的機率 n =試驗的次數(shù) p =任何一個試驗成功的機率 1-p =任何一個試驗失敗的機率,,二項機率分配,二項機率函數(shù),,,,,二項機率函數(shù),,,n次試驗中有x次成功的任一實驗結(jié)果發(fā)生的機率,n次試驗中恰有x次成功的實驗結(jié)果數(shù)

20、,,,,,二項機率分配,二項機率分配實例,回到馬丁服飾店的問題，三位顧客的購買決策的例子。式(5.6)可用來計算3人中有2人購買的實驗結(jié)果數(shù)，也就是n＝3次試驗中，出現(xiàn)x＝2次成功的實驗結(jié)果共有幾種。因此根據(jù)式(5.6)可得：式(5.6)表示3人中有2人購買的實驗結(jié)果有3個。從圖5.3中可看出這3個實驗結(jié)果，分別表示成 (S, S, F), (S, F, S) 及 (F, S, S)。,二項機率分配實例,利用式(5.6)可以得知

21、3人皆購買的實驗結(jié)果數(shù)為：從圖5.3可知，只有一個實驗結(jié)果是3個都成功，以(S, S, S)表示。利用式(5.6)可計算n次試驗中，x次成功的實驗結(jié)果數(shù)。但是如果我們想瞭解n次試驗中x 次成功的機率時，則必須知道每一個實驗結(jié)果出現(xiàn)的機率。由於二項實驗中每一個試驗間彼此獨立，因此每一實驗結(jié)果發(fā)生的機率即為該實驗中各試驗結(jié)果出現(xiàn)機率的乘積。,二項機率分配實例,以本例而言，前2位顧客購買而第3位顧客不購買的機率為pp(1－p

22、)?已知每一試驗中購買的機率為0.30，因此前2位購買而第3位不購買的機率為(0.30)(0.30)(0.70)＝(0.30)2(0.70)＝0.063其他兩種2個成功1個失敗的實驗結(jié)果發(fā)生的機率如下所示。,二項機率分配實例,由以上可知有2個顧客會購買的共有3種實驗結(jié)果，它們出現(xiàn)的機率皆相同，皆為0.063。x為其他值時亦有此一特點。,二項機率分配實例,在馬丁服飾店的例子中，我們可以計算沒有顧客購買、恰有1位購買、恰有2位購買及

23、3位都購買的機率，計算結(jié)果彙整於表5.7，此即為購買人數(shù)的機率分配。圖5.4為此機率分配的圖形表示法。,二項機率分配實例,二項機率分配實例,二項機率分配實例,二項機率函數(shù)可以應(yīng)用到任何的二項實驗中，只要符合二項實驗的特性並且知道n , p及(1－p)的值就可以利用式(5.8)計算n次試驗中成功x次的機率。如果我們將馬丁服飾店的實驗稍做變化，如10位顧客而非3位顧客，式(5.8)的二項機率函數(shù)公式仍然適用。假定有一個n＝10, x＝4

24、且 p＝0.30的二項實驗。10位來店顧客中恰有4位購買的機率是,,二項機率分配的期望值與變異數(shù),,,,,期望值,變異數(shù),標準差,二項機率分配的期望值與變異數(shù)實例,以馬丁服飾店為例，我們可以利用式(5.9)計算顧客購買的期望人數(shù)為假設(shè)下個月馬丁服飾店的來客數(shù)為1,000人，則會購買的人數(shù)期望值是μ＝np＝(1000)(0.3)＝300。因此，要增加購買人數(shù)的期望值，馬丁服飾店必須設(shè)法增加來客數(shù)或增加來店顧客購買的機率。,二項機率分

25、配的期望值與變異數(shù)實例,再以馬丁服飾店為例，若來客數(shù)為3人，則購買人數(shù)的變異數(shù)及標準差為：若來客數(shù)為1,000人時，則購買人數(shù)的變異數(shù)與標準差分別為,評註,附錄B的二項機率表中，p值都在0.5以下，當p值超過0.5時即無表可查。然而我們可以利用n－x個失敗取代x個成功，以失敗的機率1－p取代p值計算二項機率值。某些二項機率表是以累積機率的形式表示，使用此種表格時，必須採減法運算以求出所需的機率，如f(2)＝P(x ≤ 2)－P(

26、x ≤ 1)。在本書中我們直接列出f(2)的機率值，因此，如果要計算累積機率值時，必須採加法方式加以處理，如P(x ≤ 2)＝f(0)＋f(1)＋f(2)。,卜瓦松機率分配常用來估計某特定區(qū)間或特定空間中，發(fā)生某特定事件的次數(shù)。,x 為一離散隨機變數(shù)，其可能值為無限數(shù)列(?x＝0, 1, 2, ...?)。,,,,5.5 卜瓦松機率分配,符合卜瓦松機率分配的隨機變數(shù),洗車場每小時車輛到達的次數(shù),高速公路每10哩需要維修的數(shù)目；每1

27、00哩管線破損的數(shù)目。,,,,,,卜瓦松機率分配,卜瓦松實驗的特性,各區(qū)間發(fā)生或不發(fā)生某特定事件是彼此獨立的。,任意兩個等長的區(qū)間發(fā)生特定事件的機率皆相同。,,,卜瓦松機率分配,卜瓦松機率分配,卜瓦松機率函數(shù),,其中:f(x) = 一區(qū)間中發(fā)生x次的機率 ? = 一區(qū)間中發(fā)生次數(shù)的期望值或平均數(shù) e = 2.71828.,,卜瓦松機率分配實例,假設(shè)我們有興趣的是銀行在正常上班時間中，每15分鐘駛?cè)肫嚈檰T窗口的車輛

28、數(shù)。假設(shè)在任何相同的時間區(qū)間中，車輛到達的機率皆相同且車輛到達與否為獨立事件。在這種情況下便可以應(yīng)用卜瓦松機率分配。若根據(jù)歷史資料發(fā)現(xiàn)，15分鐘內(nèi)車輛的平均到達數(shù)為10輛，則可應(yīng)用下列機率函數(shù)。隨機變數(shù)x是15分鐘內(nèi)的來車數(shù)。,,卜瓦松機率分配實例,若管理者想要瞭解15分鐘內(nèi)恰有5輛車到達的機率，則此時x＝5可得：上述機率值是將μ ＝10, x＝5代入式(5.11)中計算而得。,卜瓦松機率分配實例,計算每3分鐘1輛來車

29、的機率由於15分鐘內(nèi)平均來車數(shù)為10輛，因此每分鐘平均來車數(shù)為 10/15 ＝ 2/3 輛，而每3分鐘平均來車為μ＝(2/3)(3分鐘)＝2輛。因此，3分鐘內(nèi)來車x輛的機率為欲求3分鐘內(nèi)1輛來車的機率，可利用上述公式,,,一個包含長度或距離區(qū)間的例子,假如我們有興趣的是某一段高速公路路段，經(jīng)重新舖設(shè)路面一個月後，發(fā)現(xiàn)重要瑕疵的數(shù)量。假設(shè)在此路段的任何兩個區(qū)間中，發(fā)現(xiàn)一個瑕疵的機率皆相同，且各區(qū)間發(fā)現(xiàn)瑕疵與否為獨立事件。因此可以應(yīng)

30、用卜瓦松機率分配。假設(shè)每哩在重新舖設(shè)路面一個月後，發(fā)現(xiàn)重大瑕疵的平均數(shù)目為2個，則在3哩內(nèi)沒有發(fā)現(xiàn)重大瑕疵的機率為何？因為我們有興趣的長度區(qū)間為3哩，因此3哩的平均瑕疵數(shù)為μ＝(2個 / 哩)(3哩)＝6個，利用式(5.11)，f(0)＝6e/0!＝0.0025，可得3哩內(nèi)沒有重大瑕疵數(shù)的機率為0.0025，表示在3哩內(nèi)沒有重大瑕疵的可能性非常小。事實上，在3哩長的路段裡至少有1個重大瑕疵的機率為1－0.0025＝0.9975。,5.

31、6 超幾何機率分配,,超幾何機率分配(hypergeometric probability distribution)與二項機率分配關(guān)係相當密切。,兩者主要的差別有二，,超幾何分配的各試驗並不獨立,超幾何分配成功的機率隨試驗而有不同。,,,,,,超幾何機率分配,超幾何機率函數(shù),,for 0 < x < r,其中: f(x) = n次試驗中x次成功的機率 n = 試驗的次數(shù) N = 母體大小

32、 r = 母體中成功的個數(shù),,超幾何機率函數(shù),超幾何機率分配,for 0 < x < r,,表示從母體總失敗個數(shù)N－r中，選出n－x個失敗個數(shù)的可能組合,,,,,,,,,,,表示從母體總成功個數(shù) r 中，選出 x 個成功個數(shù)的可能組合,,表示從母體大小為N中，選出n個樣本的可能組合,超幾何機率分配實例,品管的例子某家公司生產(chǎn)燈絲，12個燈絲包裝成一盒。品管檢驗員隨機從一盒產(chǎn)品中抽出3個檢驗。假定該盒恰有5

33、個瑕疵品，檢驗員抽出的3個燈絲中恰有一個是瑕疵品的機率為何？在此例中，n＝3且N＝12，每盒裡有r＝5個瑕疪品，要計算抽出的瑕疵品個數(shù)x＝1的機率，計算公式為：,,超幾何機率分配實例,假定我們想知道至少有一個瑕疵品的機率。最簡單的方式是先算出沒有瑕疵品的機率，x＝0的機率是已知沒有瑕疵品的機率 f(0)＝0.1591，可以求出至少有一個瑕疵品的機率是1－0.1591＝0.8409。因此，至少發(fā)現(xiàn)一個瑕疵品的機率很高。,,,,,

34、,,平均數(shù),變異數(shù),超幾何分配,超幾何分配實例,燈絲的例子中n＝3, r＝5且N＝12，所以瑕疵品的平均數(shù)及變異數(shù)是標準差是?σ＝,,,以 n 個試驗的超幾何分配而言，令p＝(r / N)表示第一次試驗的成功機率。,,,,,如果母體很大，式(5.14)中的(N－n)/(N－1)會接近1,期望值與變異數(shù)可以寫成 E(x) = np, Var(x) = np(1 – p).,這也是二項分配的期望值與變異數(shù)公式,continu