微分和導(dǎo)數(shù)

1、第2章微分和微分法微分和微分法導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用經(jīng)典微積分大致分為微分學(xué)和積分學(xué)兩大部分.微分學(xué)中兩個(gè)最基本的概念就是函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)，而求函數(shù)微分或?qū)?shù)的方法稱為微分法微分法.微分法是微分學(xué)中最基本的運(yùn)算方法.2121微分和導(dǎo)數(shù)微分和導(dǎo)數(shù)函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)就像是一對(duì)兒“雙胞胎”，是同時(shí)存在的，而且兩者有密切的關(guān)系.自柯西以來，幾乎所有的教科書中都是先講導(dǎo)數(shù)，后講微分.許多學(xué)生學(xué)完微積分后，熟悉導(dǎo)數(shù)卻不熟悉微分.實(shí)際上，微分運(yùn)算

2、和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是平行的，即每一個(gè)微分運(yùn)算都對(duì)應(yīng)于一個(gè)相當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)運(yùn)算，反過來也是如此.本書將把函數(shù)的可微性作為起始概念，并同時(shí)導(dǎo)出函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)這兩個(gè)概念，以便能夠體現(xiàn)出它們兩者之間的“孿生兄弟”關(guān)系.1.1.從例子說起從例子說起(函數(shù)局部線性化函數(shù)局部線性化)假若函數(shù)隨自變量的變化是均勻的，譬如函)(xyy?x數(shù).用表示自變量在點(diǎn)的增量，則函數(shù)的增量為bkxy??0xxx???x0xbkxy??(圖21)00[()][]ykxxbkxbk

3、x???????????顯然，與自變量增量成正比，即函數(shù)增量是關(guān)于自變量增量的線性函數(shù).y?x?y?x?可是，另有些函數(shù)，例如函數(shù)(圖22)在點(diǎn)(相應(yīng)于自變量增量)的增量為2xy?0xx?222000()2()yxxxxxx?????????顯然，函數(shù)在點(diǎn)近旁的變化不是均勻的，即與不成正比.但是，能夠被分2xy?0xy?x?y?離出一部分，它與成正比；而余下的部分與相比較，當(dāng)時(shí)，是高02xx?x?2()x?x?0??x階無窮小量，即.于

4、是，函數(shù)在點(diǎn)的增量就可表示成)0)(()(2?????xxox2xy?0x02()(0)yxxoxx???????我們將把“與成正比”或“關(guān)于為線性”的那一部分，稱為函數(shù)在點(diǎn)x?x?02xx?2xy?的微分；而把比例系數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).與一次函數(shù)不同，函0x02x2xy?0xykxb??bkxy??Oy2yx?20()xx??20xy?02xx?圖22x00xxx??2()x?ykxb??ΔxOx0x0Δx圖21yykx????x第

5、2章微分和微分法導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用6262上述導(dǎo)數(shù)記號(hào)是后來的法國數(shù)學(xué)家拉格朗日(Lagrange1736—1813)引用的，而萊0()yx?布尼茨當(dāng)初把函數(shù)在點(diǎn)的的導(dǎo)數(shù)記成.這樣，按照萊布尼茨的說法，)(xyy?0x0d()dyxx導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的微分除以自變量微分的商導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)的微分除以自變量微分的商(簡稱微商簡稱微商)（）（）.若函數(shù)在點(diǎn)可微分，根據(jù)式(21)，則有)(xyy?0x或0lim0xy????000lim()()xyxxy

6、x?????即函數(shù)在點(diǎn)連續(xù).這說明：函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微分的必要條件函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微分的必要條件；或者說，函數(shù)可微函數(shù)可微)(xyy?0x分是函數(shù)連續(xù)的充分條件分是函數(shù)連續(xù)的充分條件.在以下的例子中，注意是自變量（而把暫時(shí)看成常量，就像上面的）.x?x0x例1函數(shù)函數(shù)(為正整數(shù)為正整數(shù))的可微性的可微性當(dāng)自變量在任意點(diǎn)有一個(gè)無窮小nyx?n()x?????增量時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)的增量為x?nxy?x122(1)()()()()2nnnnnnn

7、nnyxxxxnxxxxxx????????????????????????1221(1)()()()2nnnnnnnxxxxxnxxox??????????????????????[方括號(hào)內(nèi)為]()ox?因此，根據(jù)定義[即式(21)]，函數(shù)在任意點(diǎn)可微分且微分為nxy?()x?????（其中）1d()dnnxnxx??dxx??而函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為.nxy?()x?????1()nnxnx???例2函數(shù)函數(shù)和的可微性的可微性對(duì)于任意點(diǎn)，

8、設(shè)有增量，則sinyx?cosyx?()x?????x?函數(shù)的增量為2sin()sin2cossin22xxxyxxx?????????其中，當(dāng)時(shí)，根據(jù)定理11（因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)），則有0x??cosx2coscoscos(1)22xxxxxo?????????????又根據(jù)，則，于是有sin(0)xxx??sin(0)22xxx?????[與相差一個(gè)高階無窮小量]sin()22xxox?????sin2x?2x?因此，??2cos(1)