泰勒公式

1、1第四章第四章數(shù)值微積分微積分在數(shù)學(xué)分析課程中已作了詳細(xì)論述，但是在實(shí)際問題中所遇到的函數(shù)關(guān)系往往只知道一組離散數(shù)據(jù)，而解析表達(dá)式是未知的。有的函數(shù)關(guān)系雖然有解析表達(dá)式但很復(fù)雜，不便于計(jì)算。對(duì)于定積分而言，有的函數(shù)其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，而在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中又需要求出函數(shù)的微積分，這就產(chǎn)生了利用離散數(shù)據(jù)求函數(shù)的數(shù)值積分及數(shù)值微分的思想方法。本章主要介紹數(shù)據(jù)微積分的基本思想方法及常用的數(shù)值微分與數(shù)值積分公式。一、內(nèi)容分析與教學(xué)建一

2、、內(nèi)容分析與教學(xué)建議本章內(nèi)容是數(shù)值微積分。數(shù)值微分包括：用插值多項(xiàng)式求數(shù)值微分、用三次樣條函數(shù)求數(shù)值微分和用Ridson外推法求數(shù)值微分。數(shù)值積分包括：常見的NewtonCotes求積公式，如：梯形公式、Simpson公式和Cotes公式；復(fù)化求積公式；Romberg求積公式和Gauss型求積公式等內(nèi)容。一一一數(shù)值微分微分1、利用Tayl展開式建立數(shù)值微分公式，實(shí)際上是利用導(dǎo)數(shù)的離散化，即用差商近似代替導(dǎo)數(shù)，在由Tayl公式的余項(xiàng)估計(jì)誤

3、差；由于當(dāng)步長(zhǎng)很小時(shí)，回出現(xiàn)兩個(gè)非常接h近的數(shù)相減，因此，在實(shí)際運(yùn)用中往往采用事后估計(jì)的方法來(lái)估計(jì)誤差。2、用插值多項(xiàng)式求數(shù)值微分，主要是求插值節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的近似值。借助第二章的Lagrange插值公式及其余項(xiàng)公式，確定插值節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的近似值及其誤差。常用的有三點(diǎn)公式和五點(diǎn)公式。3、闡明用三次樣條函數(shù)求數(shù)值微分的優(yōu)點(diǎn)：由第三章的三次樣條函數(shù)的性()sx()sx質(zhì)知：只要的4階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則當(dāng)步長(zhǎng)時(shí)，收斂到，收斂到()fx0h?()sx(

4、)fx()sx?，收斂到.因此，用三次樣條函數(shù)求數(shù)值微分，效果是很好的。指()fx?()sx??()fx??()sx出其缺點(diǎn)是：需要解方程組，當(dāng)很小時(shí)，計(jì)算量較大。h4、講解用Ridson外推法求數(shù)值微分時(shí)，首先闡明方法的理論基礎(chǔ)是導(dǎo)數(shù)的離散化，即用差商近似代替導(dǎo)數(shù)；然后重點(diǎn)講解外推法的思想和推導(dǎo)過(guò)程，因?yàn)檫@種方法和思路在后面的數(shù)值積分和微分方程數(shù)值解中還要用到。一一一數(shù)值積值積分的一般概念分的一般概念3而Gauss型求積公式不屬于Ne

5、wtonCotes公式的范疇。2、闡明Gauss型求積公式的代數(shù)精度是插值型求積公式的最大值，介紹Gauss點(diǎn)的概念，并說(shuō)明Gauss點(diǎn)實(shí)際上是某個(gè)正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)。3、講清楚Gauss型求積公式的求積系數(shù)的特殊構(gòu)造，并由此證明Gauss型求積公式是穩(wěn)定的，以及Gauss型求積公式的收斂性。4、介紹幾種Gauss型求積公式：古典Gauss公式、GaussTchebyshev公式、GaussLaguerre公式和GaussHermite公