第五章_微分中值定理及其應(yīng)用1

1、第五章第五章微分中值定理及其應(yīng)用微分中值定理及其應(yīng)用為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算來(lái)研究函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題，需要一個(gè)聯(lián)為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)算來(lái)研究函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題，需要一個(gè)聯(lián)系局部與整體的工具，這就是微分中值定理系局部與整體的工具，這就是微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中組成一段在數(shù)學(xué)分析中組成一段很漂亮的推理小鏈條很漂亮的推理小鏈條應(yīng)用：應(yīng)用：求極限的待定型、求極限的待定型、函數(shù)作圖、函數(shù)作圖、解極值問(wèn)題解極值問(wèn)題11微分中值定理微分中值定理定義定義5.

2、1稱(chēng)在點(diǎn)達(dá)到極大點(diǎn)達(dá)到極大(小)值，如果存在值，如果存在，使得，使得)(xf0x0??是在的最大的最大(小)值，即值，即)(0xf)(xf)(00????xx，)(0xf)(xf?)(00?????xxx(或，))()(0xfxf?)(00?????xxx這時(shí)，稱(chēng)這時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)為的極值點(diǎn)的極值點(diǎn).。極大值極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。極大值極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值0x)(xf定理定理5.1(5.1(費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理)設(shè)在點(diǎn)附近有定義若點(diǎn)附近有定義若在)(x

3、f0x)(xf點(diǎn)達(dá)到極值，且點(diǎn)達(dá)到極值，且在點(diǎn)可導(dǎo)，則點(diǎn)可導(dǎo)，則.0x)(xf0x0)(0??xf定理定理5.2(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理)若在閉區(qū)間區(qū)間上連續(xù)連續(xù)，()fx[]ab則在有最大值與最小值即存在有最大值與最小值即存在，使得，使得()fx[]ab12xx?[]ab＝，＝.1()fxmaxaxb??()fx2()fxminaxb??()fx定理的意義定理的意義：該定理是說(shuō)函數(shù)的值域：該定理是說(shuō)函數(shù)的值域＝(

4、)fX()|fxaxb??有最大數(shù)與最小數(shù)，這一點(diǎn)只有對(duì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)才保證恒成立有最大數(shù)與最小數(shù)，這一點(diǎn)只有對(duì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)才保證恒成立.費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)最值定理羅爾中值定理羅爾中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理使得使得，0|Ax?????0()()fxfx?x???BRA?這時(shí)這時(shí)R的一個(gè)分劃，事實(shí)上，由的一個(gè)分劃，事實(shí)上，由知不空，顯然不空，顯然aAbB??

5、AB，而對(duì)任意，而對(duì)任意，我們來(lái)證，我們來(lái)證，如果不然，設(shè)，如果不然，設(shè)ABR??AB???????，由，由知存在知存在，使任意，使任意有，由此推，由此推???A??0x??x??0()()fxfx?出存在出存在，使得任意，使得任意，有，有，因此，因此＝0x??x??0()()fxfx?B??矛盾，這就證明了矛盾，這就證明了構(gòu)成構(gòu)成R的一個(gè)分劃，由實(shí)數(shù)基本定理，存的一個(gè)分劃，由實(shí)數(shù)基本定理，存RAAB在唯一的在唯一的，使得對(duì)任意，使得對(duì)

6、任意，有，有，下面來(lái)證明，下面來(lái)證明rAB????r????，()()frfx?[]xab??先考慮先考慮的情形，如果不然，存在的情形，如果不然，存在，有，有，()r??0xr?0()()fxfr?這時(shí)存在這時(shí)存在，使得，使得，且任意，且任意，有，有0??0xr???()xrr?????，由，由，知存在，知存在，使得任意，使得任意有0()()fxfx?2rA???12xr???2xr???，從而，從而。顯然。顯然(否則否則1()()fx

7、fx?10()()fxfx?2r??1xr????)，這與，這與對(duì)一切對(duì)一切成立矛盾，這就成立矛盾，這就2rA???0()()fxfx?()xrr?????證明了對(duì)任意證明了對(duì)任意，有，有xr?()()fxfr?其次考慮其次考慮的情形，任意的情形，任意，存在，存在使得使得，因此，因此()r??xr?N1xrN??當(dāng)時(shí)，有時(shí)，有nN?1xrN??1rn??B?由的定義，知存在的定義，知存在，使，使，若存在，若存在，使，使B1nxrn??(