高數(shù)微分方程求解

1、第一節(jié)微分方程的基本概念學(xué)習(xí)目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的階，微分方程的通解、特解及微分方程的初始條件等學(xué)習(xí)重點(diǎn)：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始條件學(xué)習(xí)難點(diǎn)：微分方程的通解概念的理解學(xué)習(xí)內(nèi)容：1、首先通過(guò)幾個(gè)具體的問(wèn)題來(lái)給出微分方程的基本概念。（1）一條曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且在該曲線上任一點(diǎn)M（xy）處的切線的斜率為2x，求這條曲線的方程。解設(shè)曲線方程為.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知函數(shù)滿足)(xy

2、y?)(xyy?（1）xdxdy2?同時(shí)還滿足以下條件：時(shí)，（2）1?x2?y把（1）式兩端積分，得即（3）??xdxy2Cxy??2其中C是任意常數(shù)。把條件（2）代入（3）式，得，1?C由此解出C并代入（3）式，得到所求曲線方程：（4）12??xy（2）列車在平直線路上以20的速度行駛；當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度.sm24.0sm?問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住，以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程？解設(shè)列車開(kāi)始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米。根

3、據(jù)題意，反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)滿足：)(tss?（5）4.022??dtsd此外，還滿足條件：等變量則可以不出現(xiàn)。例如階微分方程)1(?nyyyx?n01)(??ny中，除外，其他變量都沒(méi)有出現(xiàn)。)(ny如果能從方程（11）中解出最高階導(dǎo)數(shù)，得微分方程（12）).()1()(??nnyyyxfy?以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且（12）式右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù)。f由前面的例子我

4、們看到，在研究某些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要建立微分方程，然后找出滿足微分方程的函數(shù)，就是說(shuō)，找出這樣的函數(shù)，把這函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式。這個(gè)函數(shù)就叫做該微分方程的解。確切地說(shuō)，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有階連)(xy??In續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果在區(qū)間上，I??0)]()()([?xxxxFn????那么函數(shù)就叫做微分方程（11）在區(qū)間上的解。)(xy??I例如，函數(shù)（3）和（4）都是微分方程（1）的解；函數(shù)（8）和（10）都是微分方程（5）的解。如

5、果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解。例如，函數(shù)（3）是方程（1）的解，它含有一個(gè)任意常數(shù)，而方程（1）是一階的，所以函數(shù)（3）是方程（1）的通解。又如，函數(shù)（8）是方程的解，它含有兩個(gè)任意常數(shù)，而方程（5）是二階的，所以函數(shù)（8）是方程（5）的通解。由于通解中含有任意常數(shù)，所以它還不能完全確定地反映某一客觀事物的規(guī)律性，必須確定這些常數(shù)的值。為此，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況提出確定這