圓錐曲線中的最值問題

1、1圓錐曲線中的最值問題圓錐曲線中的最值問題一、圓錐曲線定義、性質(zhì)一、圓錐曲線定義、性質(zhì)1.(文)已知F是橢圓＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過其中心的一條弦，則△ABF的面積最大值為()x225y29A6B15C20D12[答案]D[解析]S＝|OF||y1－y2|≤|OF|2b＝12.12122、若以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積的最大值為1，則橢圓長軸長的最小值為()A1B.C2D222解析：設(shè)橢圓＋＝1(ab0)，則使三角形面積最

2、大時(shí)，三角形在橢圓上的頂點(diǎn)為橢圓x2a2y2b2短軸端點(diǎn)，∴S＝2cb＝bc＝1≤＝.∴a2≥2.∴a≥.∴長軸長2a≥2，故選D.12b2＋c22a22223、(文)(2011山東省臨沂市質(zhì)檢)設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，M、N分別是兩圓：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的x225y29點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為()A912B811C812D1012解析：由已知條件可知兩圓的圓心恰是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且

3、|PF1|＋|PF2|＝10，∴(|PM|＋|PN|)min＝10－2＝8，(|PM|＋|PN|)max＝10＋2＝12，故選C.點(diǎn)評(píng)：∵圓外一點(diǎn)P到圓上所有點(diǎn)中距離的最大值為|PC|＋r，最小值為|PC|－r，其中C為圓心，r為半徑，故只要連接橢圓上的點(diǎn)P與兩圓心M、N，直線PM、PN與兩圓各交于兩點(diǎn)處取得最值，最大值為|PM|＋|PN|＋兩圓半徑和，最小值為|PM|＋|PN|－兩圓半徑和4、(2010福州市質(zhì)檢)已知P為拋物線y2＝

4、4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2＋(y－4)2＝1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()A5B8C.－1D.＋2175[答案]C[解析]拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(10)，圓x2＋(y－4)2＝1的圓心為C(04)，設(shè)點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離為d，根據(jù)拋物線的定義有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝－1.175、已知點(diǎn)F是雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的

5、坐標(biāo)為(14)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為x24y212________解析如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，將|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線，即P為圖中的點(diǎn)P0時(shí)成立，故|PF|＋|PA|的最小值為9.故填9.答案96、已知直線1:436

6、0lxy???和直線2:1lx??，拋物線24yx?上一動(dòng)點(diǎn)P到直線1l和直線2l的距離之和的最小值是（）A.2B.3C.115D.3716【解析1】直線2:1lx??為拋物線24yx?的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知，P到2l的距離等于P到拋物線的焦點(diǎn))01(F的距離，故本題化為在拋物線24yx?上找一個(gè)點(diǎn)P使得P到點(diǎn))01(F和直線2l的距離之和3設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(m0)，則M到直線AP的距離是，于是＝|m－6|，|m＋6|2|m＋6|2又－

7、6≤m≤6，解得：m＝2∵橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離是d，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝(x－)2＋15，594992由于－6≤x≤6，所以當(dāng)x＝時(shí)d取最小值.92155(文)已知點(diǎn)A(20)、B(40)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線y2＝－4x上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)是______AP→BP→[答案](00)[解析]設(shè)P，則(－y24，y)＝，＝，＝＋y2＝＋y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時(shí)取等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)P的

8、AP→(－y24－2，y)BP→(－y24－4，y)AP→BP→(－y24－2)(－y24－4)y41652坐標(biāo)為(00)6、如圖，已知拋物線2:Eyx?與圓222:(4)(0)Mxyrr????相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)。（Ⅰ）求r的取值范圍（Ⅱ）當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí)，求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo)。解：解：（Ⅰ）將拋物線2:Eyx?代入圓222:(4)(0)Mxyrr????的方程，消去2y，整理得227160xxr???

9、?拋物線2:Eyx?與圓222:(4)(0)Mxyrr????相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的充要條件是：方程（1）有兩個(gè)不相等的正根∴???????????????016070)16(449221212rxxxxr即???????????442525rrr或。解這個(gè)方程組得425??r15(4)2r?.（II）設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為11()Axx、11()Bxx?、22()Cxx?、22()Dxx。則由（I）根據(jù)韋達(dá)定理有21212716