內(nèi)切球與外接球習(xí)題講義教師版

1、1立體幾何中的立體幾何中的“內(nèi)切內(nèi)切”與“外接外接”問(wèn)題的探究問(wèn)題的探究1球與柱體球與柱體規(guī)則的柱體，如正方體、長(zhǎng)方體、正棱柱等能夠和球進(jìn)行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進(jìn)行結(jié)合，通過(guò)球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問(wèn)題.1.11.1球與正方體球與正方體如圖1所示，正方體設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，為1111DCBAABCD?aGHFE棱的中點(diǎn)，為球的球心。O常見(jiàn)組合方式有三類：一是球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，截面圖為正

2、方形和其內(nèi)切圓，則；EFHG2arOJ??二是與正方體各棱相切的球，截面圖為正方形和其外接圓，則EFHG；aROG22??三是球?yàn)檎襟w的外接球，截面圖為長(zhǎng)方形和其外接圓，則11AACC.231aROA??通過(guò)這三種類型可以發(fā)現(xiàn)，解決正方體與球的組合問(wèn)題，常用工具是截面圖，即根據(jù)組合的形式找到兩個(gè)幾何體的軸截面，通過(guò)兩個(gè)截面圖的位置關(guān)系，確定好正方體的棱與球的半徑的關(guān)系，進(jìn)而將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。例1棱長(zhǎng)為1的正方體1111ABCD

3、ABCD?的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，EF，分別是棱1AA，1DD的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（）A22B1C212?D21.21.2球與長(zhǎng)方體球與長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體各頂點(diǎn)可在一個(gè)球面上，故長(zhǎng)方體存在外切球.但是不一定存在內(nèi)切球.設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為abc其體對(duì)角線為l.當(dāng)球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球時(shí)，截面圖為長(zhǎng)方體的對(duì)角面和其外接圓，和正方體的外接球的道理是一樣的，故球的半徑222.22labcR????3正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存

4、在外接球，也存在內(nèi)切球，并且正四面體作為一個(gè)規(guī)則的幾何體，它既存在外接球，也存在內(nèi)切球，并且兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)關(guān)系。兩心合一，利用這點(diǎn)可順利解決球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)關(guān)系。如圖如圖4，設(shè)正四面體，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為，內(nèi)切球半徑為，內(nèi)切球半徑為，外接球的半徑，外接球的半徑ABCS?ar為R，取的中點(diǎn)為，為在底面的射影，連接為正四面體ABDESSESDCD的高。在截面三角形作一個(gè)與邊和相切，圓心在

5、高上的圓，SDCSDDCSE即為內(nèi)切球的截面。因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱性可知，外接球和內(nèi)切球的球心同為。此時(shí)，O則有則有2222233aRraRrCE????，=，解得：3332aCEaSErOEROSCO?????66.412Rara??這個(gè)解法是通過(guò)利用兩心合一的思路，建立含有兩個(gè)球的半徑的等量關(guān)系進(jìn)行求解.同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，球心O為正四面體高的四等分點(diǎn).如果我們牢記這些數(shù)量關(guān)系，可為解題帶來(lái)極大的方便.例4將半徑都為１的四個(gè)鋼球完全

6、裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為()A.3263?B.2263C.4263D.43263?球的外切正四面體，這個(gè)小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點(diǎn)的距離是中心到地面距離的3倍.]2.22.2球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐球與三條側(cè)棱互相垂直的三棱錐組合問(wèn)題，主要是體現(xiàn)在球?yàn)槿忮F的外接球.解決的基本方法是補(bǔ)形法，即把三棱柱補(bǔ)形成正方體或者長(zhǎng)方體。常見(jiàn)兩種形式：一是三棱