chapter 5 定積分計(jì)算 -1

1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.09)Chapter3Seriesofcomplexvariablefunctions1Chapter3復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)Abstract：簡介解析函數(shù)的性質(zhì)，尤其是解析函數(shù)最重要的表達(dá)形式之一的冪級(jí)數(shù)(powerseries)的重要性質(zhì)。重點(diǎn)講述解析函數(shù)在常點(diǎn)附近展開為Tayl級(jí)數(shù)和在孤立奇點(diǎn)附近展開為Laurent級(jí)數(shù)。最后討論單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類。Moti

2、vation：引論中講過，一方面，物理學(xué)家力求（將此sum()kkkazb??表達(dá)為一個(gè)簡單的函數(shù)）；但另一方面，有些物理上的表示（例如求解方程和方程的解等）相當(dāng)復(fù)雜，人們不得不反過來做級(jí)數(shù)展開。有趣的是，大部分情況下級(jí)數(shù)的前一、二項(xiàng)就解決問題了（物理誤差范圍以內(nèi)）。這不但對(duì)收斂快的級(jí)數(shù)是如此，況且對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)尤要cutoff！多項(xiàng)式展開。更有趣的是，這樣便構(gòu)成了本征函數(shù)系—早已存在的數(shù)學(xué)理論，物理理論和實(shí)驗(yàn)的核心目標(biāo)，seepartII

3、）。級(jí)數(shù)復(fù)習(xí)級(jí)數(shù)復(fù)習(xí):常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：11.nSn??????函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：幾何級(jí)數(shù)；??01z11nnzz??????指數(shù)級(jí)數(shù)；??0z!nznzen??????三角函數(shù)級(jí)數(shù)。????????????21020sin1z21!cos1z2!nnnnnnzznzzn????????????????一般級(jí)數(shù)：……解析項(xiàng)級(jí)數(shù)：1.一般級(jí)數(shù)，2.冪級(jí)數(shù)。問題問題：設(shè)有序列，問，Key：divergence發(fā)散.1111234???11nSn????

4、?且這是log發(fā)散。lim11nnn???????11dln1nnxSnx???????limlimln1nnnSSn???????MethodsofMathematicalPhysics(2016.09)Chapter3Seriesofcomplexvariablefunctions3（3）有界序列和無界序列：給定復(fù)數(shù)序列，若存在一個(gè)正數(shù)，??nzM對(duì)所有的都有，稱為序列有界；否則稱為序列無界。nMzn?（4）極限：給定復(fù)數(shù)序列，如果

5、對(duì)，自然數(shù)，使得只??nz0????N要，就有，則稱收斂于，記為。Nn????Azn??nzAAznn???lim一個(gè)序列的極限必然是這個(gè)序列的聚點(diǎn)，而且是唯一的聚點(diǎn)。顯然，如果寫成，，則nnnibaz??ibaA?????????????????bbaaAznnnnnnlimlimlim例如，對(duì)于點(diǎn)列，有??n?????????????????1111110lim??????且不存在nn（5）序列極限存在（序列收斂）的Cauchy充要

6、條件：任給，存在0??正整數(shù)，使對(duì)于任意正整數(shù)，有.Np????NpNzz一個(gè)無界序列不可能是收斂的。2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂：復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂：一個(gè)復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)，，如果它的121kkkzzzz?????????部分和所構(gòu)成的序列收斂，即有極限，則???nkknzS1??nSSSnn???lim稱級(jí)數(shù)收斂，而序列的極限稱為級(jí)數(shù)的和；如果???1kkz??nSS???1kkz級(jí)數(shù)不存在（無窮或不定），則稱發(fā)散。nnS??lim???1kk