第三章 導數的應用

1、第三章導數的應用本章知識結構導圖導數的應用洛必達法則微分中值定理微分學在經濟中的應用函數的最大(小)值曲線的凹凸性與拐點函數的單調性與極值彈性問題最優(yōu)化問題邊際問題函數圖像的描繪3.1數學家的故事:法國最有成就的數學家—拉格朗日(Lagrange)拉格朗日法國數學家、物理學家及天文學家.1736年1月25日生于意大利西北部的都靈1755年19歲的他就在都靈的皇家炮兵學校當數學教授1766年應德國的普魯士王腓特烈的邀請去了柏林不久便成為柏

2、林科學院通訊院院士在那里他居住了達二十年之久1786年普魯士王腓特烈逝世后，他應法王路易十六之邀，于1787年定居巴黎其間出任法國米制委員會主任并先后于巴黎高等師范學院及巴黎綜合工科學校任數學教授最后于1813年4月10日在巴黎逝世.拉格朗日一生的科學研究所涉及的數學領域極其廣泛.如:他在探討“等周問題”的過程中他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法為變分法奠定了理論基礎他完成的《分析力學》一書建立起完整和諧的力學體系他的兩篇著名的論

3、文:《關于解數值方程》和《關于方程的代數解法的研究》總結出一套標準方法即把方程化為低一次的方程(輔助方程或預解式)以求解但這并不適用于五次方程然而他的思想已蘊含著群論思想圖3.1如圖3.1所示若在閉區(qū)間上的連續(xù)曲線其上每一點（除端點外）[]ab()yfx?處都有不垂直于軸的切線且兩個端點、的縱坐標相等那么曲線上至xAB()yfx?少存在一點使曲線在點處的切線與軸平行即導數為零.CCx事實上由于閉區(qū)間上的連續(xù)函數一定存在最大值與最小值以上

4、點[]ab()yfx?就是該曲線的最大值或最小值處.C二、拉格朗日（Lagrange）中值定理羅爾定理中的第三個條件相當特殊如果去掉這個條件而保留其余兩個????bfaf?條件可以得到一個在微分學中十分重要的拉格朗日中值定理.【定理2】若函數滿足條件:()yfx?（1）在閉區(qū)間上連續(xù)[]ab（2）在開區(qū)間內可導()ab則至少存在一點使.()ab??abafbff???)()()(?下面來考察一下拉格朗日中值定理的幾何意義:如圖3.2所示