微分幾何

1、第三節(jié) 空間曲線,3.1 空間曲線的密切平面3.2 空間曲線的基本三棱形3.3 空間曲線的曲率、撓率和伏雷內(nèi)公式3.4 空間曲線在一點(diǎn)臨近的結(jié)構(gòu)3.5 空間曲線論的基本定理3.6 一般螺線,3.1 空間曲線的密切平面,定義： 過(guò)空間曲線上 點(diǎn)的切線和 點(diǎn)鄰近一點(diǎn) 可作一平面 ，當(dāng) 點(diǎn)沿著曲線趨于 時(shí)，平面

2、 的極限位置 稱為曲線在 點(diǎn)的密切平面。且把過(guò) 點(diǎn)與密切面垂直的直線稱為曲線在 點(diǎn)的副法線。 思考：平面曲線的密切面？,密切平面的方程,設(shè)曲線 是 類曲線， 上的點(diǎn) 及其鄰近一點(diǎn) ，根據(jù)泰勒公式有：其中 ，由于切向量 及

3、 都在平面 上，因此他們的線性組合也在平面 上，即 在平面 上，從而知,在所求密切面上。當(dāng) 時(shí)， 就是所求密切面的一個(gè)法向量，所以曲線 在 點(diǎn)的密切面方程為即其中 表示 點(diǎn)的密切

4、平面上任一點(diǎn)的向徑。也可以用行列式表示：,如果曲線是平面曲線，那么它在每一點(diǎn)的密切平面都是曲線所在的平面。反之，如果一條曲線的密切平面固定，則曲線是平面曲線。,例：求螺線 上點(diǎn) 的密切平面例：求曲線在點(diǎn) 的密切面,命題： 空間曲線 為平面曲線的充要條件是,3.2空間曲線的基本三棱形,給出 類曲線 和

5、 上一點(diǎn) 。設(shè)曲線 的自然參數(shù)表示是其中 是自然參數(shù)，則是一單位向量， 稱為曲線 上 點(diǎn)的單位切向量,由于 ，由第一節(jié)命題可知即在 上取單位向量 稱為曲線 上 點(diǎn)的主法向量。再作單位向量 稱為曲線 上

6、 點(diǎn)的副法向量。,我們把兩兩正交的單位向量 稱為曲線上 點(diǎn)的伏雷內(nèi)標(biāo)架。由 知伏雷內(nèi)標(biāo)架構(gòu)成右手系。,因?yàn)?，所以切向量和主法向量所確定 的平面就是曲線 在 點(diǎn)的密切平面，又因?yàn)?和 都垂直于切向量 ，所以 和

7、 所確定的平面是曲線上 點(diǎn)的法平面， 和 所確定的平面則稱為曲線上 點(diǎn)的從切平面,方程分別為：密切平面 或法平面 或從切平面 或,單位向量 稱為曲線的基本向量。由三個(gè)基本向量和密切平面、法平面、從切平面所夠成的圖形稱為曲線的基本三棱形

8、,對(duì)于曲線 的一般參數(shù)表示有,3.3空間曲線論的基本公式,定義： 空間曲線 在 點(diǎn)的曲率為其中 為 點(diǎn)及其鄰近點(diǎn) 間的弧長(zhǎng)， 為曲線在點(diǎn) 和 的切向量的夾角。曲率刻畫(huà)了曲線的彎曲程度。,對(duì)于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭轉(zhuǎn)，所以有刻畫(huà)曲線彎曲程度的量－－－撓率。用副法向量（或密切

9、平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)速度來(lái)刻畫(huà)曲線的扭轉(zhuǎn)程度?，F(xiàn)在設(shè)曲線 上一點(diǎn) 的自然參數(shù)為 ，另一鄰近點(diǎn) 的自然參數(shù)為 ，在 兩點(diǎn)作曲線 的副法向量 和 ，此兩個(gè)副法向量的夾角是由第一節(jié)命題知（P11）幾何意義是它的數(shù)值為曲線的副法向量對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度。,定義：曲線 在

10、 點(diǎn)的撓率為撓率的絕對(duì)值是曲線的副法向量（或密切平面）對(duì)于弧長(zhǎng)的旋轉(zhuǎn)速度。,空間曲線的伏雷內(nèi)公式,這組公式是空間曲線論的基本公式。它的特點(diǎn)是基本向量 關(guān)于弧長(zhǎng) 的微商可以用 的線性組合來(lái)表示。系數(shù)組成反稱的方陣,曲率和撓率的一般參數(shù)表示式,給出 類的空間曲線曲率的一般參數(shù)表示式一般參數(shù)表示的撓率計(jì)算公式,空間曲線

11、在一點(diǎn)的密切圓（曲率圓）是過(guò)曲線 上一點(diǎn) 的主法線的正側(cè)取線段使 的長(zhǎng)為 。 以 為圓心，以 為半徑在密切平面上確定一個(gè)圓，這個(gè)圓稱為曲線 在 點(diǎn)的密切圓（曲率圓），曲率圓的中心稱為曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲率半徑。,P42 例 求圓柱螺線

12、 的曲率和撓率。例 證明曲率恒等于零的曲線是直線。例 證明撓率恒等于零的曲線是平面曲線。,練習(xí)： 1.求半徑為 的圓的曲率。 2.利用基本公式求曲線 的基本向量、曲率、撓率。 3.設(shè)曲線 的撓率 曲率

13、 曲率半徑為 則 在以原點(diǎn)為中心的 球面上的充要條件是,3.4空間曲線在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu),我們研究空間曲線在一點(diǎn)臨近的形狀。在 類曲線 上取一點(diǎn) ，為了研究點(diǎn) 臨近的形狀，在它臨近再取一點(diǎn) 利用泰勒公式有其中,由于所以其中

14、 而等表示在點(diǎn) 的值。,由上式可得在 的每一個(gè)分量中只取第一項(xiàng)，則有,現(xiàn)在取 為新坐標(biāo)系，并取為計(jì)算弧長(zhǎng)的始點(diǎn)，則有 ，如果為曲線上點(diǎn) 的臨近點(diǎn)的新坐標(biāo)，則有,它可以看作在

15、 點(diǎn)鄰近，曲線 的近似方程。由此看出，曲線在某點(diǎn)的曲率和撓率完全決定了曲線在該點(diǎn)鄰近的近似形狀。,下面我們通過(guò)曲線在基本三棱形的三個(gè)平面上的投影來(lái)觀察曲線在一點(diǎn)鄰近的形狀。,近似曲線在法平面 上的投影是消去參數(shù) 后有它是半立方拋物線,曲線在從切平面 上的投影是消去參數(shù) 后

16、，有它是立方拋物線,曲線在密切平面 上的投影是它是拋物線,通過(guò)畫(huà)出以上三個(gè)投影的立體圖形就可以看出空間曲線在一點(diǎn)鄰近的近似形狀。 從以上分析可以看出：1.曲線穿過(guò)法平面和密切平面，但不穿過(guò)從切平面。2.主法向量總是指向曲線凹入的方向，這就是主法向量正向的真正意義。3.當(dāng) 時(shí)，曲線在 附近是右旋的；當(dāng) 時(shí)，曲線在

17、 附近是左旋的，這就是撓率的幾何意義。,3.5空間曲線論的基本定理,曲線的每一點(diǎn)都有確定的曲率和撓率，如果以弧長(zhǎng)為參數(shù)，則有這兩個(gè)關(guān)系式只與曲線本身有關(guān)，而與曲線的剛體運(yùn)動(dòng)及空間曲線坐標(biāo)變換無(wú)關(guān)。我們把 稱為空間曲線的自然方程。,空間曲線論的基本定理：,給出閉區(qū)間 上的兩個(gè)連續(xù)函數(shù) ，則除了空間的位置差

18、別外，惟一地存在一條空間曲線，使得參數(shù) 是曲線的自然參數(shù)，并且 和 分別為曲線的曲率和撓率，即曲線的自然方程為,為了確定曲線的位置，設(shè) 時(shí)，曲線對(duì)應(yīng)空間 點(diǎn)（即 ），并且在該點(diǎn)的基本向量為給定的兩兩正交的右手系的單位向量,證明（1）以 和 為系數(shù)建立微分方程組

19、 （1.23）根據(jù)微分方程組解的存在定理，此方程對(duì)于初始條件 時(shí) 有唯一一組解：,這是以 為端點(diǎn)的曲線。下證 是兩兩正交的右手系的單位向量,（2）再作微分方程組：,利用（1.23

20、），則上述微分方程組可成為 （1.24）,由已知條件 在 連續(xù)； 時(shí) 是兩兩正交的右手系的單位向量，即根據(jù)微分方程組解

21、的存在定理，存在唯一的一組解。但是當(dāng) （1.25）時(shí)方程組（1.24）被滿足，所以它們是（1.24）的一組解。,由上述（1.25）可知 是兩兩正交的單位向量。于是有但是混合積 是

22、 的連續(xù)函數(shù)，由于當(dāng) 時(shí)它等于+1，所以對(duì)于所有的 都為+1，即 成右手系。由此得出 是兩兩正交的構(gòu)成右手系的單位向量。,（3）由于已得到 ，把（1.23）中的第一個(gè)式子兩端積分，利用初始條件 即得曲線的方程

23、 （1.26）（4）因?yàn)?所以弧長(zhǎng) 即 若取 則得 為曲線的自然參數(shù),（5）由 可知 為曲

24、線的切向量，再由 ，可得 為曲線的曲率。有（1.23）中的第二式可知 是所求曲線的主法向量。再根據(jù)（2）， 是曲線的副法向量。所以 是曲線的基本向量。,（6）曲線的撓率

25、為由以上可見(jiàn)，由方程（1.26）所確定的曲線是以為自然參數(shù)， 為曲率， 為撓率的曲線。,現(xiàn)在證明唯一性設(shè) 和 是兩條曲線，它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn) 有相同的曲率 和撓率 ，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膭傮w運(yùn)動(dòng)，可以使曲線 和 在對(duì)應(yīng)于自然數(shù)為 的點(diǎn)連同在這點(diǎn)的基本三棱形相重合。我們?cè)O(shè)

26、 和 為分別對(duì)應(yīng)于曲線 和 的基本向量。兩組向量函數(shù) 和 都是方程組（1.23）的解，并且這些解具有相同的初始條件，根據(jù)微分方程論的解的存在定理，這兩組解是完全相同的。特別是 即