導數(shù)典型例題講解

1、資料一資料一：導數(shù)：導數(shù).知識點知識點1導數(shù)的概念導數(shù)的概念例1已知曲線y=上的一點P(00)，求過點P3x的切線方程解析：如圖，按切線的定義，當x0時，割?線PQ的極限位置是y軸（此時斜率不存在），因此過P點的切線方程是x=0.例2求曲線y＝x2在點(2，4)處的切線方程解析：∵y=x2∴y=(x0＋x)2－x02＝2x0x＋(x)2=4x＋(x)2??????∴k＝.00limlim(4)4xxyxx??????????∴曲線y＝x

2、2在點(2，4)處切線方程為y－4＝4(x－2)即4x－y－4＝0.例3物體的運動方程是S＝1＋t＋t2，其中S的單位是米，t的單位是秒，求物體在t＝5秒時的瞬時速度及物體在一段時間[5，5＋t]內(nèi)相應的平均速度?解析：∵S=1tt2∴S=1(tt)(tt)2－(1tt2)=2ttt(t)2??????∴即∴21Sttt??????()21vttt????(5)11vt???即在[5，5＋t]的一段時間內(nèi)平均速度為(t＋11)米／秒??

3、∴v(t)=S’＝00limlim(21)21ttStttt????????????即v(5)＝25＋1＝11.∴物體在t＝5秒時的瞬時速度是11米／秒例4利用導數(shù)的定義求函數(shù)y=在x=1處的導數(shù)。1x解析：y=∴=?111111xxx?????????yx??11(11)xx??????∴=.0limxyx????011lim21(11)xxx??????????例5已知函數(shù)f(x)=求函數(shù)f(x)在點x＝0處的導數(shù)21sin000x

4、xxx???????解析：由已知f(x)=0，即f(x)在x=0處有定義，y=f(0x)－f(0)=??21()sinxx??(2)=.000()()limxxfxfxtx??????0000()()11lim()xxfxfxtfxxttt?????????（其中）10xt??例11設函數(shù)f(x)在x＝1處連續(xù)，且，求f’(1).1()lim21xfxx???解析：∵f(x)在x＝1處連續(xù)，∴f(1).1lim()xfx??而又2=0.

5、1111()()lim()lim(1)lim(1)lim011xxxxfxfxfxxxxx?????????????∴f(1)=0.∴f’(1)=（將x換成x－1）01(1)(1)()(1)limlim21xxfxffxfxx????????????即f’(1)＝2.例12已知拋物線y＝ax2bxc(a≠0)，通過點(1，1)，且在點(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求a，b，c的值解析：由y’＝=0limxyx????220()()

6、()lim2xaxxbxxcaxbxcaxbx??????????????由函數(shù)在點(2，－1)處與直線y＝x－3相切∴2a2＋b＝1，又函數(shù)過點(1，1)，(2，－1)∴a＋b＋c=1，4a＋2b＋c＝－1，由三式解得a＝3，b＝－11，c=9.例13設曲線y＝sinx在點A(，)處切線傾斜角為θ，求tan(－θ)的值.6?214?解析：∵y=sinx，∴y=sin(xx)－sinx=2cos(x)sin??2x?2x?∴y’==.0

7、limxyx????0002cos()sinsin222limlimcos()limcos22xxxxxxxxxxxx?????????????????即y’＝(sinx)’＝cosx令在A點處切線斜率為k=cos=∴tanθ=θ∈(0π)6?2323∴tan(－θ)＝H，4?311tan27431tan312?????????例14設f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任何x1、x2∈R，都有f(x1＋x2)=f(x1)f(x2)，若f(