《 高中數(shù)學應用題》解題方法歸納

1、《 高中數(shù)學應用題》解題方法歸納,數(shù)學應用問題，就是指用數(shù)學的方法將一個表面上非數(shù)學問題或非完全的數(shù)學問題轉化成完全形式化的數(shù)學問題。,求解數(shù)學應用問題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：,實際問題,建立數(shù)學模型,數(shù)學結果,實際結果,就是采用數(shù)學的方法，解決數(shù)學模型所表達的數(shù)學問題。,,這一步可以稱之為數(shù)學解決。,就是將數(shù)學結論轉譯成實際問題的結論。,這一步可以稱之為實際化。,就是對實際問題的結論作出回答。,應以審題(即明確題

2、意)開始，通過分析和抽象找出題設與結論的數(shù)學關系，建立合理的數(shù)學模型。,這一步可以稱之為數(shù)學化。,1. 某摩托車生產企業(yè)，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x (0＜x＜1) ，則出廠價相應提高的比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x．已知年利潤=（出廠價–投入成本）?年銷

3、售量．（Ⅰ）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增 加的比例x 的關系式；（Ⅱ）為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？,解：（Ⅰ）由題意得，,整理得 ：,（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，必須,即,解不等式得 ．,答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例應滿足 0＜x＜0.33 ．,,2. 某地區(qū)上年度電價為0.8元/k

4、W·h，年用電量為a kW·h.本年度計劃將電價降到0.55元/ kW·h至0.75元/ kW?h之間， 而用戶期望電價為0.4元/ kW·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比（比例系數(shù)為k）。該地區(qū)電力的成本價為0.3元/ kW·h。 (Ⅰ)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數(shù)關系式；(Ⅱ)設k=0.2a,當電價

5、最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年至少增 長20%?（注：收益=實際用電量?(實際電價?成本價)）,解：(Ⅰ) 設下調電價為 x 元／k w?h ,,(Ⅱ) 由題意知,即 x ² －1.1x＋0.3 ≥0,∴ x≤0.5 或 x≥0.6,又 0.55≤ x ≤0.75,∴ 0.6≤x≤0.75,∴當電價最低定為 0.6元／kw·h 時，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長 20 ％ .,,3.

6、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內，西紅柿場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示。（Ⅰ）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式 ;寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式 ；（Ⅱ）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價

7、各種植成本的單位：元/102㎏，時間單位：天）,y=at＋b則b=300,∵100=200a＋b∴a=－1,解：（Ⅰ）由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關系為,由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關系為,（Ⅱ）設時刻的純收益為h(t) , 則由題意得,h(t)=f(t) －g(t),即 h(t)=,當 0≤t≤200 時，配方整理得,h(t)=,,∴當t=50時，h(t) 取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；,當200＜t≤300 時，

8、配方整理得,h(t)=,∴當 t=300時, 取得區(qū)間（200，300］上的最大值87.5,綜上，由100＞87.5 可知，在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時 t=50 ，,即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大。,,4、我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控手段來達到節(jié)約用水的目的，某市用水收收費的方法是： 水費=基本費+損耗費+超額費若每月用水量不超過最低

9、限量am3時，只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費c元；若用水量超過am3時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每m3付b元的超額費，已知每戶每月的定額損耗費不超過5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：月 份用水量（m3）水費（元）（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求a、b、c；（2）若用戶四月份用水量為30立方米，應交水費多少元？,月 份123,用水量（m3）91522,水費（元）919

10、33,,解：設每月用水量為xm3，支付費用為y元，則：,由題意知0＜C≤5 ∴8+C≤13,答：a、b、c的值依次為10，2，1；四月份應交水費49元。,（2）四月份應交水費為: 8+1+2(30-10)=49 (元),故a=10，b=2，c=1,∴一月份的付款方式應選①式，由8+c=9得c=1,不妨設9＞a，將x=9代入②得 9=8+c+2（9－a）∴2a=c+17 與③矛盾 ∴9≤a,再分析一月份的用水量是否超過最

11、低限量,∴2a=c+19 ③,由表知第二、三月份的費用均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，將x=15，x=22分別代入②，得,,5. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池（平面圖如下圖），由于地形限制，長、寬都不能超過16米。如果池四周圍壁建造單價為每米長400元，中間兩道隔墻建造單價為每米長248元，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計。試設計污水池的

12、長和寬，使總造價最低，并求出最低造價。,解：設污水池長為 x ，,則寬為,解之得：12.5≤x≤16,y＝400(x＋ ) ×2＋2×248× ＋80×200,∴總造價y為,＝800(x＋ ) ＋16000,令u＝x ＋,設,∵,,答：當污水長為16米，寬為12.5米時； 總造價最低為45000元.,∴u＝16 時,

13、,6.   一輛新汽車使用一段時間后，就值不到原來的價錢了。假若一輛新車價值18萬元，按下列方式貶值：每年的車價是原來的 。問：購買18個月后，此車貶值多少？從購買日起t個月后呢？（貶值量Q＝原價P－汽車現(xiàn)在價值W）,解：先建立汽車的現(xiàn)價W與使用時間t（t以月為單位） 的函數(shù)關系W＝f（t）。,當t＝0時，即剛買來，顯然f（0）＝180000；,當t＝12時，即買了一年，f（12）＝180000&

14、#215; ＝120000；,當買了兩年后，f（24）＝180000× ＝80000；,一般地，f（12×n）＝180000× 。,設t＝12n，則f（t）＝180000× 。,18個月后，W＝180000× ＝98000，,Q＝180000－98000＝82000，即貶值了820

15、00元。,從購買日起t個月后，Q＝180000× 。,,7.某工廠生產一種機器的固定成本為5000元，且每生產100部需要增加投入2500元，對銷售市場進行調查后得知，市場對此產品的需求量為每年500部，已知銷售收入的函數(shù)為 H（x）=500x－ x2 其中x是產品售出的數(shù)量，且0≤x≤500 （1）若x為年產量，y表示利潤，求y=f(x)

16、的解析式； （2）當年產量為何值時，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？ （3）當年產量為何值時，工廠有盈利（已知： =4.65）,解：（1）當0≤x≤500時，產品全部售出；當x＞500時，產品只能銷售500部，故利潤函數(shù)為：,125000－(5000+25x) (x > 500),（2）當0≤x≤500時， f(x)= －0. 5(x－475)2+107812.5;,當x&

17、gt;500時， f(x)=120000－25x<120000－12500，,即 f(x)<107500,故當年產量為475部時，利潤最大，最大利潤為107812.5元。,解得10＜x≤500 或500＜x＜4800，,∴ 10＜x＜4800.,故當年產量在10部到4800部時, 工廠盈利.,,解：（1）若按原來投資環(huán)境不變，則由,知當x=40時， =10.,即每年只需從60萬元?？钪心贸?/p>

18、40萬元投資，可獲最大利潤10萬元，這10年的總利潤的最大值為,8. 某地區(qū)地理位置偏僻，嚴重制約經濟發(fā)展，某種土特產品只能在本地銷售，該地區(qū)政府每投資x萬元，所獲利潤為 萬元。為順應開發(fā)大西北的宏偉決策，擬開發(fā)此種土特產品，而開發(fā)前后用于該項目投資的專項財政撥款每年都是60萬元。若開發(fā)該產品，必須在前5年中，每年從60萬元?？钪心贸?0萬元投資修

19、通一條公路，且5年可以修通。公路修通后該土特產品在異地銷售，每投資x萬元，可獲利潤問從十年的總利潤來看，該項目有無開發(fā)價值？,萬元。,（ 2）若對該產品開發(fā)前5年每年可用于對該產品的投資只有30萬元，,而函數(shù) 在( 0, 30 ］上遞增，,所以當x=30時， = 。,前5年的總利潤為

20、 （萬元）。,設在后5年中，x萬元用于本地銷售投資，,60-x萬元用于異地銷售投資，則總利潤為,當x=30時，W2有最大值4500。,∴十年的總利潤有最大值： + 4500（萬元）。,而 + 4500＞100，,故該項目具有極大的開發(fā)價值。,W=10×10=100（萬元）。,,解: 設日銷售金額為y元, 則y=P·Q，,

21、當0＜t＜25 , t∈N 時，y=－t2+20t+800= －(t－10)2+900,,∴t=10時 ，ymax=900(元),當25≤t≤30，t∈N時，y=t2－140t+4000=(t－70)2－900,,∴t=25時，ymax=1125（元）,綜上所述，這種商品日銷售額的最大值為1125元。,,10. 市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數(shù)量的關系作數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律：該商品的價格每上漲x%（x>0)，銷

22、售數(shù)量就減少kx%（其中k為正常數(shù)）。目前，該商品定價為a元，統(tǒng)計其銷售數(shù)量為b個。（1）當 時，該商品的價格上漲多少，就能使銷售總金額達到最大？（2）    在適當?shù)臐q價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍。,解：依題意，價格上漲x%后，銷售總金額為：,（1）取,∴x = 50 即商品價格上漲50%時，y最大為,（2）因為,此二次函數(shù)開口向下，對稱軸為

23、：,在適當漲價過程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當自變量x在{x|x>0}的一個子集內增大時，y也增大。,所在 ，,解之 0 < k < 1,,解:（I）依題意，該商品年銷售量為（80 － ）萬件，,年銷售收入為60（80 － ）萬元，,故所求函數(shù)及其定義域為：,由80－ 且P> 0