指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1、奧運(yùn)會的五環(huán)美,二十九屆奧運(yùn)會在2008年8月8日在首都隆重舉行！,她佩戴著五環(huán)旗而來，佩戴著五環(huán)美而來，佩戴著幾何美和數(shù)學(xué)美而來！,五環(huán)旗的和諧美,奧林匹克五環(huán)旗僅由五個圓組成。,圓是世界公認(rèn)最美的圖形：曲率半徑處處相等，碰撞系數(shù)點(diǎn)點(diǎn)為零，過心直線條條是軸，五環(huán)轉(zhuǎn)動面面是鏡！,五環(huán)旗的對稱美,五個圓的外公切線圍成一個等腰直角三角形，底邊上的高為對稱軸，五個圓對稱地分布在對稱軸的兩邊。,五環(huán)旗的均衡美,五個圓的圓心及上下兩排圓的外公切線

2、位于平行且等距的四條直線上。,五環(huán)旗的奇異美,四條外公切線組成一個等腰梯形，過圓心的直線組成橫向和斜向的平行線，其中含有多少數(shù)學(xué)秘密，令人神往。,五環(huán)旗的折線美,五個圓的圓心連成4段折線：,（1）它表示怎樣的幾何圖形?（2）它表示怎樣的函數(shù)圖象?,數(shù)學(xué)愛好者可以盡情遐想!,五環(huán)旗的文字美,五個圓的圓心連成4段折線：,（1）組成英文大寫字母W；,（2）在漢語中，W是文明和文化的第一個字母！多好、多巧！,可愛的五環(huán)，漂亮的奧林匹克！ 奧林

3、匹克的五環(huán)美，是對稱美、和諧美、簡捷美、均衡美和凸異美的交織！,五環(huán)美是奇特與均稱的統(tǒng)一，明快與莊重的統(tǒng)一，內(nèi)涵與形態(tài)的統(tǒng)一，含蓄與大方的統(tǒng)一，趣變與穩(wěn)健的統(tǒng)一！,五環(huán)旗 美的集中,五環(huán)美是幾何美的彰顯，是數(shù)學(xué)美的集中，是人類智慧美的大成！,數(shù)學(xué)美是感性美與理性美上在科學(xué)深處的溝通，它是物質(zhì)美與精神美在人們心靈上的疊加！,五環(huán)旗美的統(tǒng)一,在北京奧林匹克運(yùn)動會的日子里，欣賞奧運(yùn)會，觀賞五環(huán)旗，鑒賞數(shù)學(xué)美，既是一種文化參與，又是一種文化享受

4、。,讓我們共同擁抱這五美合一的五環(huán)旗！,主講: 徐天順,,,,,,——2009年12月3日——,,,,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),掌握指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義；理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),并會簡單的應(yīng)用.,考綱要求,基礎(chǔ)再現(xiàn),1．化簡：,,知識回顧,指數(shù)的運(yùn)算法則,對數(shù)的運(yùn)算法則,,對數(shù)的換底公式,指數(shù)對數(shù)的互化,同底運(yùn)算,等式成立的條件,變形引起范圍變化,基礎(chǔ)再現(xiàn),一般地，函數(shù) y = a x

5、(a＞0，且 a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)．,函數(shù) y = log a x (a＞0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)．,知識回顧,常用對數(shù): y = log10 x = lg x,自然對數(shù): y = loge x = ln x,2.函數(shù) 是指數(shù)函數(shù)，則 ， ．,y = 2x+1,y = e -x,y = 2lg x,,,,y = a x ( a > 0,

6、a≠1),y = log a x ( a > 0, a≠1),R,都過點(diǎn)(0,1),x1；x>0時0<y<1,x>0時,y>1；x<0時0<y<1,減函數(shù),增函數(shù),(0 , +∞),R,都過點(diǎn)(1,0),00 x>1時,y<0,01時,y>0,減函數(shù),增函數(shù),(0 , +∞),基礎(chǔ)再現(xiàn),3．完成下列圖表,非奇非偶函數(shù),非奇非偶函數(shù),指對：指對本源一家親，恒

7、等變換常使用；兩邊乘方與對數(shù)，降級運(yùn)算顯神效。運(yùn)算比較相同底，正負(fù)確定明0、1；換底公式幫對數(shù)，實在不行看圖象。圖象要看a 與1，大1撇來小1捺，簡潔明了單調(diào)性，指過（0，1）對（1，0）。異底函數(shù)看一線，指看x=1,對看y=1,平移對稱注界線，常畫圖象好處多。,1.求值：,（1）,題型一：指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算,例題精析,解題回顧,1. 熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；,2.指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算是同底的運(yùn)算；,（2）,,,題型二：與

8、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)概念有關(guān)的問題,,,,2. 若log2a ＜0，則a的取值范圍是 (　　) A. ( ，＋∞) B. (1，＋∞) C. ( ，1) D. (0， ),,,【解析】 (1)若2a>1，則a> ，要使log2a ＜0， 必有0 ，∴

9、<a<1.,,,(2)若01， 解得a>1或a<-1, 這與0<a< 矛盾，這樣的a不存在. ∴a的取值范圍為 .故選C.,,【答案】 C,【點(diǎn)評】 含有參變量的問題，由于參變數(shù)的不同取值，會導(dǎo)致解法或數(shù)學(xué)問題的性質(zhì)完全不同，因此，對含參數(shù)的問題，常常需要討論.本題中，由于底數(shù)中含有參數(shù)，對相應(yīng)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有影響，因

10、此，應(yīng)就a的不同取值進(jìn)行分類求解.,,,,3. [2006年·重慶卷] 設(shè)a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=alg(x2-2x+3)有最大值，則不等式loga(x2-5x+7)＞0的解集為（2，3） 【解析】要使函數(shù)f（x）=alg（x2-2x+3）有最大值，則0＜a＜1，所以loga(x2-5x+7)＞0=loga1，即有 x2-5x+7＞0 x2-5x+7＜1

11、 得； x∈（2，3）,,,C,,,例題精析,解題回顧:,題型三：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,( 2 ) 三個數(shù)60.7，0.76，log0.76的大小順序是 　　( ) A. 0.76< log0.76 < 60.7 　 　B. 0.76 < 60.7< log0.76 C. log0.76 <60.7 < 0.76 　D. log0

12、.76 < 0.76< 60.7,D,1. 當(dāng)比較的指數(shù)式、對數(shù)式同底時，可直接根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性；,2. 當(dāng)比較的指數(shù)式、對數(shù)式不同底時，此時往往需要借助于第三個量（如0 , 1, -1等）；,log0.76 < 0 < 0.76 < 1 < 60.7,2007年天津卷理9．設(shè)a，b，c均為正數(shù),且

13、則(A) A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c,指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),,例題精析,解題回顧,分類討論,2. 指數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性是解指數(shù)、對數(shù) 不等式的依據(jù)；,1. 指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是化同底；,3. 當(dāng)指數(shù)、對數(shù)的底不明時常要分類討論．,題型三：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,C,能力提升,分析:,隱含條件

14、為 a2 + 1 > 2a ,（a > 0 且 a ≠1）,變①：已知log a (a2 + 1) < log a 2a < 0，則實數(shù)a的取值范圍是 ( ) A. (0 , 1) B. (0 , ) C. ( ,1) D. (1 , +∞),由

15、 log a (a2 + 1) < log a 2a ,,可知函數(shù) y = log a x 必定為單調(diào)減函數(shù),,故0 < a < 1, 再由 log a 2a < 0 = log a 1 得:,< a < 1,,所以答案選C.,注意充分挖掘題中隱含條件,點(diǎn)撥,變②：若0 b >　1 D. 　b　> a >　1,C,思路一:,能力提升,可以用換

16、底公式化同底,所以原不等式可化為,分析：,注意到loga　2 和 logb　2有共同的真數(shù),,所以答案選C．,變②：若0 b >　1 D. 　b　> a >　1,C,數(shù)形結(jié)合,能力提升,,b,,a,思路二:,變③：若loga　2 < logb　2,則a和b的大小,能力提升,變④：若loga　2 < log2a,則a的取值范圍,隨堂訓(xùn)練,A,6,,,課堂小結(jié),熟練掌握指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算法則；,,,課

17、堂小結(jié),理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念,常用對數(shù) y = lg x = log 10 x,自然對數(shù) y = ln x = log e x,課堂小結(jié),指數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),,,課堂小結(jié),指數(shù)、對數(shù)不等式的解法：,分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn);,①指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是化同底；,②當(dāng)指數(shù)、對數(shù)的底不明時常要分類討論．,指數(shù)、對數(shù)式比較大小常用方法：,①當(dāng)比較的指數(shù)式、對數(shù)式同底時，可直接根據(jù)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性；,②當(dāng)比較的指數(shù)式、

18、對數(shù)式不同底時，此時往往需要借助于第三個量（如0 , 1, -1等）；,,,.,題型四：單調(diào)性的應(yīng)用,,,,,,,,,,,1. 設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(1). 若f(x)的定義域是R,求a的取值范圍.(2). 若f(x)的值域是R,求a的取值范圍.(3). 若f(x)在區(qū)間[ -4 , -1 ]上遞減,求a的取值范圍.,解：令u(x)=ax2-4x+a-3,,(1) x∈R,則有ax2-4x+a-3&g

19、t;0對一切實數(shù)都成立,,∴ a>4,判別式△=(-4)2-4a(a-3)=4(4+3a-a2),題型五：綜合應(yīng)用,,,解(2) ∵f(x)的值域是R,,∴ 0<a≤4,則f(x)=lg(ax2-4x+a-3)的值域是R．,∴ a的取值范圍是［０，４］,1. 設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(1). 若f(x)的定義域是R,求a的取值范圍.(2). 若f(x)的值域是R,求a的取值范圍.,又a=0時，－4x

20、-3>0, x< ,,,,解(3) f(x)在區(qū)間[-4 , -1]上遞減,依題意有:,① 當(dāng)a>0時,解得a>0,② 當(dāng)a<0時,③ 當(dāng)a=0時,u(x)=-4x-3遞減,且u(-1)=1>0.,∴ a的取值范圍是,1. 設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax2-4x+a-3),(3). 若f(x)在區(qū)間[ -4 , -1 ]上遞減,求a的取值范圍.,2.,同解于

21、 ，討論a>1還是0,1之間,3.,(1)由f(x) 是奇函數(shù)知，對定義域上任意x 均有,即,所以 對定義域上的任意 恒成立，,即 恒成立，,所以 解得 ( 時， 不能構(gòu)成函數(shù)，故舍去).,,(2)證明：對于任意給定的 、 ，且,所以當(dāng) 時，,當(dāng)

22、 時，,所以 在 上單調(diào)遞減.,所以 在 上單調(diào)遞增.,因為,所以,(1)由已知得,(2)由(1)知，,所以,由 得,①若,當(dāng) 時，原不等式的解為,所以,,②,③ 則原不等式無解，,綜上所述，當(dāng) 時，不等式的解集為