直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

1、直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 一、選擇題 一、選擇題1．兩異面直線在平面α內(nèi)的射影（ ）A．相交直線 B．平行直線C．一條直線—個點 D．以上三種情況均有可能2．若兩直線 a 與 b 異面，則過 a 且與 b 垂直的平面（ ）A．有且只有—個 B．可能存在也可能不存在C．有無數(shù)多個 D．—定不存在3．在空間，下列哪些命題是正確的（

2、 ）①平行于同一條直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③平行于同一個平面的兩條直線互相平行；④垂直于同—個平面的兩條直線互相平行．A．僅②不正確 B．僅①、④正確 C．僅①正確 D．四個命題都正確4．若平面α的斜線 l 在α上的射影為 l′，直線 b∥α，且 b⊥l′，則 b 與 l（ ）A．必相交 B．必為異面直線 C．垂

3、直 D．無法確定5．下列命題①平面的每條斜線都垂直于這個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；②若一條直線垂直于平面的斜線，則此直線必垂直于斜線在此平面內(nèi)的射影；③若平面的兩條斜線段相等，則它們在同一平面內(nèi)的射影也相等；④若一條線段在平面外并且不垂直于這個平面，則它的射影長一定小于線段的長．其中，正確的命題有（ ）A．1 個 B．2 個 C．3 個 n 4 個6．在下列四個命題中，假命題為（ ）A．

4、如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直B．垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊C．過點 A 垂直于直線 a 的所有直線都在過點 A 垂直于 a 的平面內(nèi)D．如果三條共點直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面7．已知 P 是四邊形 ABCD 所在平面外一點且 P 在平面 ABCD 內(nèi)的射影在四邊形 ABCD 內(nèi)，若 P 到 這四邊形各邊的距離相等，那么這個四邊形是（ ）A．圓內(nèi)接四邊形

5、 B．矩形 C．圓外切四邊形 D．平行四邊形8．在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面 ABC，PA＝8，則 P 到 BC 的距離等于（ ）A． 5 B． 5 2C．3 5 D．4 5 二、填空題 二、填空題9．AB 是平面α的斜線段，其長為 a，它在平面α內(nèi)的射影 A′B 的長為 b，則垂線 A′ A_________．10．如果直線 l、m 與平面α、β、γ滿足

6、：l＝β∩γ，l⊥α，m?α和 m⊥γ，現(xiàn)給出以下四個結(jié) 論：①α∥γ且 l⊥m；②αγ且 m∥β③αβ且 l⊥m；④αγ且 l⊥m；其中正確的為“________” ． （寫 出序號即可）11．在空間四面體的四個面中，為直角三角形的最多有____________個．12．如圖，正方形 ABCD，P 是正方形平面外的一點，且 PA⊥平面 ABCD 則在△PAB、△PBC、△ PCD、△PAD、△PAC 及△PBD 中，為直角三角形有__

7、_______個．13．給出以下四個命題（1）兩條平行直線在同一平面內(nèi)的射影一定是平行直線；（2）兩條相交直線在同一平面內(nèi)的射影一定是相交直線；（3）兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影—定是兩條相交直線；（4）一個銳角在平面內(nèi)的射影一定是銳角．其中假命題的共有_________個．14．若一個直角在平面α內(nèi)的射影是一個角，則該角最大為___________．三、解答題 三、解答題15．已知直線 a∥平面α,直線 b⊥平面α，求證：a⊥b．∴

8、OE⊥AB、OF⊥AC． 故 Rt△AOE≌Rt△AOF， ∴∠BAO＝∠CAO． 19．證明：如圖，在點 P 和直線 a 所在的平面β內(nèi)，過點 P 作直線 a 的垂線 b，設垂足為 A．設過點 P 與β垂直的直線為 c，則必有 c⊥a，再設由 b、c 確定的平面為α，則必有 a⊥α． 設 l 是過點 P 與 a 垂直的直線，下證：l?α． 若 l?α，設由 l 與 c 確定的平面為α′， 則由 a⊥l，a⊥c，l∩c＝P， ∴a⊥α′

9、，這樣平面α與α′都是過點 P 與直線 a 垂直的平面．這是一個錯誤的結(jié)論，因此，假設不成 立，故必有 l?α，也就是說過點 P 與 a 垂直的直線均在平面α內(nèi)，于是本題獲證．20．證明：先證必要性：過 B 作 CD 的垂線，垂足 E，連 AE， ∵CD⊥AB， ∴CD⊥平面 ABE， ∴CD⊥AE． ∴AC2＝AE2＋CE2、BD2＝BE2＋DE2； 又有 AD2＝AE2＋DE2、BC2＝BE2＋CE2． ∴AC2＋BD2＝AE2＋B

10、E2＋CE2＋DE2， 而 AD2＋BC2＝AE2＋BE2＋CE2＋DE2． ∴AC2＋BD2＝AD2＋BC2． 再證充分性：過 A 點作 CD 的垂線，垂足設為 F，于是有： AD2＝AF2＋DF2、BC2＝BE2＋CE2； AC2＝AF2＋CF2、BD2＝BE2＋DE2； ∵AD2＋BC2＝AC2＋BD2； ∴AF2＋DF2＋BE2＋CE2＝AF2＋CF2＋BE2＋DE2∴DF2＋CE2＝CF2＋DE2， ∴DF2―CF2＝DE2―