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文檔簡介
1、反證法 反證法一、教學目標: 一、教學目標:結合已經學過的數(shù)學實例,了解間接證明的一種基本方法──反證法;了解反證法的思考過程與特點。二、教學重點: 二、教學重點:了解反證法的思考過程與特點教學難點: 教學難點:正確理解、運用反證法三、教學方法: 三、教學方法:探析歸納,講練結合四、教學過程 四、教學過程(一) (一) 、復習: 、復習:反證法的思考過程與特點。 反證法的思考過程與特點。反證法是一種間接證法,它是先提出一個與命題的結論相
2、反的假設,然后,從這個假設出發(fā),經過正確的推理,導致矛盾,從而否定相反的假設,達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟,大體上分為:(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。反設是反證法的基礎,為了正確地作出反設,掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于
3、/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有 n 個/至多有(n 一 1)個;至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。歸謬是反證法的關鍵,導出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設出發(fā),否則推導將成為無源之水,無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾;自相矛盾。(二) (二) 、探究新課 探究新課反證法是數(shù)學中非構造性證明中的極重要的方法。對于處理
4、存在性問題、否定性問題、唯一性問題和至多、至少性問題,反證法具有特殊的優(yōu)越性。例 1、已知 ,求證: 中,至少有一個數(shù)大于 100 4 3 2 1 ? ? ? ? a a a a 4 3 2 1 a a a a , , ,25。證明:假設命題的結論不成立,即 均不大于 25,那么 4 3 2 1 a a a a , , ,(四)、練習: 、練習:1、課本 練習 2。 15 P2、 (1)用反證法證明命題:“三角形的內角中至少有一個不大于
5、 60 度”時,反設正確的是( )(A) 假設三內角都不大于 60 度; (B) 假設三內角都大于 60 度;(C) 假設三內角至多有一個大于 60 度; (D) 假設三內角至多有兩個大于 60 度。(2)已知 =2,關于 p+q 的取值范圍的說法正確的是 3 3 q p ?( )(A)一定不大于 2 (B)一定不大于2 2(C)一定不小于(D)一定不小于 2 2 2解析 用反證法可得(1)應選(B)
6、 (2)應選(A)3、 用反證法證明命題“如果 那么 ”時,假設的內容應為 , a b ? 3 3 a b ?_____________.解析:用反證法可得應填 或 3 3 a b ? 3 3 a b ?4、如果 為無理數(shù),求證 是無理數(shù). 1 a ? a提示:假設 為有理數(shù),則 可表示為 ( 為整數(shù)) ,即 . a a / p q , p q / a p q ?由 ,則 也是有理數(shù),這與已知矛盾. ∴ 是無理數(shù). 1 ( )/
7、 a p q q ? ? ? 1 a ? a(五) (五) 、作業(yè): 、作業(yè):課本 習題 1-3: 1、5 15 P補充題:對于直線 l:y=kx+1,是否存在這樣的實數(shù) k,使得 l 與雙曲線 C:3x-y =1 的交點 A、B 關于直線 y=ax(a 為常數(shù))對稱?若存在,求出 k 的值; 2 2若不存在,請說明理由。證明:(反證法)假設存在實數(shù) k,使得 A、B 關于直線 y=ax 對稱,設 A(x1,y1) 、B(x2,y2)則
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