具有時滯的van der Pol-Duffing系統(tǒng)的雙Hopf分岔.pdf

1、本文主要研究了在具有時滯反饋的van der Pol-Duffing系統(tǒng)中，時滯引起的非共振的雙Hopf分岔、混沌及分岔解的定量計算。首先，根據(jù)對原系統(tǒng)的線性分析，及Hopf分岔定理，得到1：√2非共振時系統(tǒng)發(fā)生雙Hopf分岔的充要條件，其中，時滯及反饋增益為分岔參數(shù)。然后，用中心流形定理及規(guī)范型方法將原時滯系統(tǒng)約化到4維中心流形上，即，將原無限維問題轉(zhuǎn)化為4維問題。并定性地畫出雙Hopf分岔點附近的分岔圖，對雙Hopf分岔點

2、附近的動力學行為進行分類。 容易驗證，當參數(shù)在分岔點附近取值時，中心流形理論(CMT)等方法解得的諧波解，不僅在定性上且在定量上，能夠與數(shù)值模擬吻合得很好。但是，當參數(shù)逐漸遠離分岔點時，用CMT等得到的解與數(shù)值模擬的結(jié)果偏差越來越大，直到完全無效。為克服CMT的這一缺點，我們提出用改進的攝動增量法(PIS)來求解時滯系統(tǒng)的周期解，甚至概周期解。數(shù)值模擬表明，改進的PIS能有效地解決這一問題，且得到的解可得到任意高精度?？傊?/p>

3、，本論文所提出的用CMT及PIS方法，不僅可以定性地而且定量地分析討論時滯系統(tǒng)。其中，得到高精度的概周期解是本論文的一個重要結(jié)果。據(jù)我所知，至今為止，這方面的研究成果不多。 除了上述內(nèi)容外，作者還發(fā)現(xiàn)，所研究的系統(tǒng)的動力學行為極其豐富：在分岔點附近的很小的領域內(nèi)，不僅存在著死島(振幅為零的區(qū)域)、穩(wěn)定的周期解，還有概周期解、混沌等等復雜現(xiàn)象。這一結(jié)果表明，系統(tǒng)對時滯的變化非常敏感：即使對時滯作很小的擾動，系統(tǒng)的動力學行為都有

4、可能會發(fā)生巨大的變化。值得注意的是，本文中的考慮時滯的系統(tǒng)的參數(shù)平面中存在著穩(wěn)定區(qū)域，而這在對應的無時滯的系統(tǒng)卻是沒有的。我們可以利用該點性質(zhì)，實現(xiàn)對實際中的動力學系統(tǒng)的結(jié)構的穩(wěn)定性控制。另一方面，在通信領域的同步傳送方面，卻是要產(chǎn)生混沌的。所以，死島和混沌這兩種現(xiàn)象都有重要的實用價值。總之，利用這些結(jié)果，我們可以通過調(diào)整時滯等參數(shù)來控制系統(tǒng)的動力學行為。這種參數(shù)控制方法不但有效，而且在操作上很容易實現(xiàn)，因此具有很好的應用前