二維風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率的漸近性分析.pdf

1、眾所周知，破產(chǎn)概率是精算數(shù)學(xué)及應(yīng)用概率論的主要研究對(duì)象之一，因?yàn)樵诖蠖鄶?shù)場(chǎng)合，人們不容易算出破產(chǎn)概率的值，所以破產(chǎn)概率的漸近性研究顯得格外重要，破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值，從Lundberg(1903)[69]時(shí)代一直到現(xiàn)在，破產(chǎn)概率的漸近理論已經(jīng)成為一個(gè)非常活躍的研究領(lǐng)域，在研究的開(kāi)始階段，人們主要研究一維更新風(fēng)險(xiǎn)模型，但是在實(shí)際生活中，對(duì)于保險(xiǎn)公司來(lái)說(shuō)，只經(jīng)營(yíng)一種保險(xiǎn)幾乎是不可能的，因此研究多險(xiǎn)種的多維

2、更新風(fēng)險(xiǎn)模型因其具有更強(qiáng)的實(shí)際意義而被提上日程，多維更新風(fēng)險(xiǎn)模型的研究往往要比一維的情況更加復(fù)雜，計(jì)算更加繁瑣，而且有時(shí)還需要解決一些新的數(shù)學(xué)問(wèn)題，另一方面，人們發(fā)現(xiàn)一些高維更新風(fēng)險(xiǎn)模型與二維更新風(fēng)險(xiǎn)模型沒(méi)有太大的區(qū)別，因此，本文將從以下三個(gè)方面研究二維更新風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近理論，
　　首先，我們研究了不帶利率的非標(biāo)準(zhǔn)的二維更新風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近性，其中索賠額是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量其分布屬于長(zhǎng)尾分布

3、族與控制變化尾分布族(見(jiàn)下文定義1.2和1.5)的交，索賠到達(dá)間隔時(shí)間滿足廣義負(fù)象限相依或?qū)捪笙尴嘁澜Y(jié)構(gòu)(見(jiàn)下文定義1.8)的要求．在兩種索賠同時(shí)到達(dá)的情況下，獲得了破產(chǎn)概率的漸近公式，它在保險(xiǎn)公司經(jīng)營(yíng)時(shí)間t∈[f(x)，∞）上一致成立，這里，(x)是任意一個(gè)無(wú)限遞增的函數(shù)，這個(gè)結(jié)果使用了與Chen等(2011)[27]不同的證明方法，擴(kuò)大了其分布族和相依結(jié)構(gòu)的范圍，并且削弱了其中的一些條件，
　　其次，我們研究了帶利率和干擾的兩

4、種非標(biāo)準(zhǔn)的二維更新風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近性，在這兩種模型中，兩類索賠分為同時(shí)到達(dá)和不同時(shí)到達(dá)兩種情況，索賠額都滿足上尾漸近獨(dú)立的相依結(jié)構(gòu)（見(jiàn)下文定義1.9)，其分布也屬于長(zhǎng)尾分布族與控制變化尾分布族的交，索賠到達(dá)間隔時(shí)間滿足寬下象限相依結(jié)構(gòu)，對(duì)每一種情況，我們分別獲得了三種在有限時(shí)段內(nèi)的有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近估計(jì)，這些結(jié)果也使用了與Li等(2007)[65]和Bai和Song(2011)[12]不同的證明方法，并推廣了Li

5、等(2007)[651的部分結(jié)果和Bai和Song(2011)[12]的結(jié)果，
　　最后，我們研究了一類時(shí)間相依的二維更新風(fēng)險(xiǎn)模型的有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近性，這里兩種索賠同時(shí)到達(dá)，索賠額是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，其分布屬于次指數(shù)分布族(見(jiàn)下文定義1.3)，并且同時(shí)到達(dá)的兩種索賠額和它們的到達(dá)間隔時(shí)間具有某種相依關(guān)系，我們獲得了有限時(shí)破產(chǎn)概率的一致漸近估計(jì)，這就將Asimit和Badescu(2010)[5]，Li等(2010)[6

6、7]一維的結(jié)果在適當(dāng)?shù)臈l件下推廣到二維的場(chǎng)合，可以看出，與前兩項(xiàng)研究不同，該項(xiàng)研究中索賠額和它們的到達(dá)間隔時(shí)間之間的相依結(jié)構(gòu)對(duì)破產(chǎn)概率的漸近估計(jì)有一定的影響，
　　從上述結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文處理的非標(biāo)準(zhǔn)更新模型有四個(gè)特點(diǎn)：有關(guān)隨機(jī)變量的相依性，有關(guān)隨機(jī)變量分布的重尾性，保險(xiǎn)品種的多維性以及漸近估計(jì)的一致性，這里的一致性可以說(shuō)明保險(xiǎn)公司的初始資本的大小與保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)時(shí)間的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，換言之，無(wú)論保險(xiǎn)公司打算經(jīng)營(yíng)多少年，要控制風(fēng)險(xiǎn)都需要