種群模型的有效數(shù)值方法研究.pdf

1、生態(tài)學是主要研究物種及其與環(huán)境之間相互關系的學科.近年來，有越來越多的人研究種群生態(tài)學領域的數(shù)學模型.這反映了數(shù)學模型在理解動態(tài)過程以及實際預測中的重要作用.單種群模型雖然一般與實驗室研究有關，但是他們能反映現(xiàn)實中影響種群動態(tài)的各種因素.多種群模型已經被廣泛應用到各個領域，如捕食和競爭作用、可再生資源管理、抗農藥菌株的演化、害蟲的生態(tài)控制、多物種群落和植物-食植者系統(tǒng)等. 年齡結構種群模型已經被很多人研究過.最早的無擴散年齡結構

2、模型是McKendrick-vonFoerster的線性模型[32.56]和Gurtin-MacCamy的非線性模型[34].關于這類無擴散問題的研究，參見[18.29.30.44.50]及其參考文獻.另一方面，研究空間擴散對年齡結構種群模型的影響非常重要.Gurtin[33]和Rotemberg[66]首先將空間擴散引進年齡結構模型.很多作者[2.3.23.35.46.49.51.52.55.58]研究了其擴展問題. 在第一章

3、中，我們研究了無空間擴散的年齡結構種群模型.這個模型研究的是一類海洋無脊椎動物的增長.這類無脊椎動物的生長包括固著的成蟲期和浮游的幼蟲期，例如藤壺.成蟲同著在有限的區(qū)域，生產幼蟲.而幼蟲可以自由地從一個區(qū)域漂游到另一個區(qū)域.我們在第二章研究了帶非線性擴散的年齡結構種群模型.它可以描述生活在固定的空間區(qū)域的某個種群的密度變化，例如魚類[23.36]. 在很多種群模型中，出生率被認為足即刻生效的.然而，在現(xiàn)實中，考慮到達到成熟需要一

4、段時間，可能存在時滯.有很多新模型考慮了時滯的影響.Smith在[70]，Smith和Thieme在[71]中對有未成熟和成熟年齡階段的種群提出了時滯微分方程.So.Wu和Zou在[74]中用Smith的方法，對成熟種群得到了時滯微分方程組.另外，在[75]中他們得到了一維連續(xù)無界空間區(qū)域中帶時滯的非局部反應擴散方程.D.Liang和J.H.Wu在[54]考慮了生活在一維空間傳播區(qū)域的物種，得到了帶時滯和非局部效應的反應對流擴散模型.文

5、獻[55]的作者考慮了二維有界區(qū)域，提出了不同邊界條件下帶時滯和非局部反應的反應擴散方程.本文作者在第三章考慮了帶局部時滯的種群模型.這個模型和著名的Nicholson’sblowflies模型類似.有很多文章研究過Nicholson’sblowflies模型，對有限區(qū)域情況，參見[57]、[72]、[73]和[78]. 隨著生存歷史和棲息地特點等生態(tài)信息的不斷完善，模型逐漸變得貼近現(xiàn)實，而對模型的數(shù)值方法研究也變得更加重要.對

6、上面提到的幾種種群模型，本文作者已經在發(fā)展其數(shù)值解法方面做了一些工作. 全文共分三章. 在第一章，我們研究了海洋無脊椎動物的年齡結構模型的間斷Galerkin方法.Roughgarden等人在[67]中首次對生活在局部地區(qū)的海洋無脊椎動物提出了年齡結構種群模型.由于生殖周期不是閉的，這個模型可以看作是開放式系統(tǒng)模型.[8，39，48，62，79]等文獻擴展了該模型.另外，Roughgarden和Iwasa在[40，68]

7、中提出了封閉的年齡結構模型并將它擴展到多物種和多棲息地模型. 考慮有限壽命的種群模型，在極限年齡附近，死亡率函數(shù)可能是無界的，解可能是陡峭的或非正則的.因此，在數(shù)值計算中，用非等距網格和在不同的時間層加密網格是很重要的.為實現(xiàn)這個目的，間斷Galerkin方法可以被用來有效地逼近種群模型的解.間斷Galerkin方法被Reed和Hill[65]首先引進和應用在中子遷移方程.接著，這個方法被廣泛研究，參見[1，7，9，22，26，

8、41].間斷Galerkin方法不僅擁有有限元方法的一些優(yōu)點，還吸收了有限差分的一些特點.這個方法很適合解有局部特性的問題.它易于局部網格加密和自適應計算.另外，由于其在單元之間有簡單的通信方式，還易于實現(xiàn)并行計算.進一步地，在跨越單元邊界的時候沒有連續(xù)性要求，從而每個單元上可以選擇正交的基函數(shù)，高階有限元逼近時可以形成良態(tài)代數(shù)系統(tǒng)[1.21]. Kim在[47]研究了線性種群模型的間斷Galerkin方法，分析了半離散格式的誤

9、差估計，但是沒有考慮全離散格式和非線性問題.我們在這章考慮了較復雜的非線性年齡結構種群模型.在§1.2.我們給出一些記號并提出半離散和全離散格式.接著，在§1.3，得到了半離散問題誤差估計，用Schauder固定點定理證明了半離散問題解的存在性.在§1.4.1，我們分析了全離散格式的誤差估計.最后，在§1.4.2，給出數(shù)值算例驗證我們的方法的有效性.由于我們提出的間斷Galerkin方法是求解非線性耦合系統(tǒng)，因此理論分析比較復雜.本章結

10、果對研究種群增長的非線性系統(tǒng)有重要的理論和應用價值. 在第二章，我們研究帶非線性擴散和反應的年齡結構種群模型.很多文章只得到了時間和年齡方向的一階格式.為了提高計算效率和精度，有必要構造高階格式.在這一章，用沿時間-年齡特征線的特征差分法([42.46.58])和空間變量的有限元法，我們對這個非線性問題提出了兩個二階格式，一個是隱格式，另一個是顯格式.我們用變分方法，Schauder固定點定理和先驗估計技巧分析了這兩個格式.在§

11、2.2，我們分別提出了二階隱格式和顯格式.接著，我們在§2.3得到隱格式的誤差估計，在§2.4證明了隱格式的解的全局存在性.在§2.5，我們得到了顯格式的誤差估計.這兩個格式在時間和年齡方向都是二階的.相對于一階格式，在相同精度的情況下，我們的格式可以用較大的時間步長和較少的網格點進行計算.在第二章的結尾，我們給出數(shù)值算例來驗證我們的理論結果.算例中的模型有實際意義，它可以描述單個物種比如魚類的動態(tài)[23，36].數(shù)值結果和[23]中的

12、方法進行了比較.從數(shù)值結果可以看出，我們的格式在時間和年齡方向都是二階的. 在第三章考慮帶時滯的種群模型的自適應有限元方法.自適應有限元由于其高效性已經成為科學和工程計算領域一個重要課題，并吸引了眾多的研究者.早期的工作，參見Babuska等人的工作([4],[5]，[6]，[10],[11]和[12]).近期的工作，參見[14],[15]，[16]，[24]，[25]，[26]，[27]，[60]及其參考文獻.在這些文獻中，有

13、很多研究了線性和非線性拋物問題.特別地，[10],[11]，[16]，[25]和[64]得到了線性拋物問題的后驗誤差估計.[14]，[17]，[59]，[63]和[77]則分析了非線性拋物問題的后驗誤差估計.眾所周知，時間相關問題的解的光滑性經常隨時間變化相當大，因此用自適應方法求解這類問題是很有必要的.用[16]的思想，我們研究了帶時滯的種群模型的自適應有限元方法.在§3.1，我們給出了全離散格式和輔助問題.在§3.2，我們分別得到了