最簡規(guī)范形及機電耦合非線性系統(tǒng)的分岔、混沌研究.pdf

1、規(guī)范形理論是化簡非線性振動系統(tǒng)的重要手段，對于研究分岔和混沌等復(fù)雜動力學(xué)問題具有深遠(yuǎn)的影響。最簡規(guī)范形是在傳統(tǒng)規(guī)范形理論和非線性變換理論的基礎(chǔ)上，最大程度地化簡微分方程所得到的一種規(guī)范形。最簡規(guī)范形的研究與實際應(yīng)用正朝著高維的方向發(fā)展，其求解過程非常復(fù)雜而繁瑣。但是，非線性動力系統(tǒng)經(jīng)最簡規(guī)范形理論加以簡化后，可以簡捷地獲取其平衡點附近的動力學(xué)特性。針對最簡規(guī)范形和機電耦合非線性動力系統(tǒng)的動力學(xué)特性，論文的研究內(nèi)容及取得的創(chuàng)新性成果有以下

2、幾個方面 （1）利用共軛算子法，研究了高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡規(guī)范形的系數(shù)。引進特殊的非線性變換和內(nèi)積，進一步簡化了中心流形上的方程。獲得了幾個關(guān)于Hopf分岔和退化Hopf分岔的最簡規(guī)范形系數(shù)與傳統(tǒng)規(guī)范形系數(shù)之間具體關(guān)系的定理。借助Mathematica語言，編制了計算高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡規(guī)范形系數(shù)的程序。通過該程序，只需輸入原動力系統(tǒng)方程，可得到系統(tǒng)具體的最簡規(guī)范形。最后利用編制的程序分別計算

3、了一個6維退化Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形和一個5維Hopf分岔系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。結(jié)果表明6維退化Hopf分岔系統(tǒng)的非線性項只包含5階項和9階項，5維Hopf分岔系統(tǒng)的非線性項只包含3階項和5階項。 （2）研究了高維Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡規(guī)范形的系數(shù)。根據(jù)最簡規(guī)范形理論，通過引進特殊的非線性變換、直接計算法利第二數(shù)學(xué)歸納法，對中心流形上的方程進一步化簡，計算出Neimark-

4、Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔最簡規(guī)范形的非線性項中分別只包含兩項。獲得了幾個關(guān)于Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡規(guī)范形系數(shù)與傳統(tǒng)規(guī)范形系數(shù)之間關(guān)系的定理。 （3）運用可逆線性變換和近恒同變換，研究了不經(jīng)計算傳統(tǒng)規(guī)范形，直接計算高維非線性動力系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。引進可逆線性變換，將非線性動力系統(tǒng)的線性矩陣拓?fù)涞葍r于符合實際研究需求的分塊對角線矩陣：相伴矩陣分布在對

5、角線上，其余元素均為0。利用低階項來化簡高階項，得到了高維非線性動力系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。在該最簡規(guī)范形中，對應(yīng)于每一個相伴矩陣的非線性系數(shù)矩陣，只有最后一行含有非0元素，其余各行元素均為0。借助Mathematica語言，編制了計算高維非線性動力系統(tǒng)最簡規(guī)范形的通用程序。運行該程序，分別計算了2維、3維、4維、6維和7維非線性動力系統(tǒng)直到4階的最簡規(guī)范形。 （4）運用含有參數(shù)的可逆線性變換和含有參數(shù)的近恒同變換，提出了不計算傳統(tǒng)規(guī)

6、范形，直接計算含參非線性動力系統(tǒng)最簡規(guī)范形的一種計算方法。借助Mathematica語言，編制了計算含參非線性動力系統(tǒng)的最簡規(guī)范形的通用程序。 （5）利用含有參數(shù)的可逆線性變換和含有參數(shù)的近恒同非線性變換，得到一類機電耦合非線性系統(tǒng)的最簡規(guī)范形。進一步得到了該系統(tǒng)的普適開折以及開折參數(shù)與原系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。討論了該系統(tǒng)的余維2分岔，揭示了各參數(shù)對機電耦合系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，對系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計、穩(wěn)定運行和故障診斷提供了理論依據(jù)。

7、給出了該機電耦合系統(tǒng)的數(shù)值仿真結(jié)果，驗證了理論分析結(jié)果。 （6）利用Silnikov定理，討論了具有自動頻率跟蹤功能電磁振動機械系統(tǒng)的混沌特性。借助卡爾達諾公式和微分方程組級數(shù)解分別討論了該系統(tǒng)的特征根問題和同宿軌道的存在性，進而比較嚴(yán)密地證明了該系統(tǒng)Silnikov型Smale混沌的存在性，并給出發(fā)生Silnikov型Smale混沌所需條件。利用數(shù)值模擬得到該類機電耦合系統(tǒng)的相軌跡圖、Lyaponov指數(shù)譜和Lyaponov維