非線性電路振蕩周期的分岔與混沌實(shí)驗(yàn)

1、非線性電路振蕩周期的分岔與混沌非線性電路振蕩周期的分岔與混沌1963年美國(guó)氣象學(xué)家Lenz在分析天氣預(yù)模型時(shí)，首先發(fā)現(xiàn)空氣動(dòng)力學(xué)中混沌現(xiàn)象，該現(xiàn)象只能用非線性動(dòng)力學(xué)來(lái)解釋。從此人們對(duì)事物運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)不再只局限于線性范圍。非線性動(dòng)力學(xué)及分岔與混沌現(xiàn)象的研究已成為熱門(mén)課題，人們對(duì)此領(lǐng)域進(jìn)行了深入研究，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象涉及的領(lǐng)域極廣，如：物理學(xué)，電子學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)，生物學(xué)，計(jì)算機(jī)科學(xué)等。本實(shí)驗(yàn)通過(guò)對(duì)非線性電路混沌現(xiàn)象的觀察，從而了解和理解非線性混沌現(xiàn)象的

2、本質(zhì)。一一實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康蘑绷私夥蔷€性系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的形成過(guò)程；⒉通過(guò)非線性電路振蕩周期的分岔與混沌現(xiàn)象的觀察，加深對(duì)混沌現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和理解⒊理解“蝴蝶效應(yīng)”。二二實(shí)驗(yàn)原理⒈分岔與混沌理論⑴邏輯斯蒂映射為了認(rèn)識(shí)混沌（chaos）現(xiàn)象，我們首先介紹邏輯斯蒂映射，即一維線段的非線性映射，因?yàn)榉蔷€性微分方程的解通?？赊D(zhuǎn)化為非線性映射?？紤]一條單位長(zhǎng)度的線段，線段上的一點(diǎn)用0和1之間的數(shù)表示。邏輯斯蒂映射是x)1(xkxx??其中是0和4之間的常數(shù)

3、。迭代這映射，我們得離散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)k，，1，2…)1(1nnnxkxx???0?n我們發(fā)現(xiàn)：①當(dāng)小于3時(shí)，無(wú)論初值是多少經(jīng)過(guò)多次迭代總能趨于一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)k②當(dāng)大于3時(shí)，隨著的增大出現(xiàn)分岔，迭代結(jié)果在兩個(gè)不同數(shù)值之間交替出現(xiàn)，稱之kk為周期2循環(huán)；繼續(xù)增大會(huì)出現(xiàn)4，8，16，32…周期倍化級(jí)聯(lián)；③很快在左右就kk58.3結(jié)束了周期倍增，迭代結(jié)果出現(xiàn)混沌從而無(wú)周期可言。④在混沌狀態(tài)下迭代結(jié)果對(duì)初值高度敏感，細(xì)微的初值差異會(huì)導(dǎo)致結(jié)果巨大區(qū)

4、別，常把這種現(xiàn)象稱之為“蝴蝶效應(yīng)”。⑤迭代結(jié)果不會(huì)超出0～1的范圍稱為奇怪吸引子。以上這些特點(diǎn)可用圖示法直觀形象地給出。邏輯斯蒂映射函數(shù)是一條拋物線，所以先畫(huà)一條的拋物線，再畫(huà)一條的輔助線，迭代過(guò)程如箭頭線所示（圖)1(xkxy??xy?1）。圖1—A不動(dòng)點(diǎn)圖1—B分岔周期2圖1—C混沌圖1—D蝴蝶效應(yīng)X0XAXB圖3非線性電路原理圖圖4非線性負(fù)阻器件R的伏安曲線圖3電路的非線性動(dòng)力學(xué)方程為：11211)(VcgVcVcGdtdVcC?

5、??LiVcVcGdtdVcC???)(21222VcdtdiLL??式中，導(dǎo)納G=1(Rv1Rv2)，和分別表示加在C1和C2上的電壓，表示流過(guò)1Vc2VcLi電感器L的電流，g表示非線性電阻的導(dǎo)納。⑵有源非線性負(fù)阻元件的實(shí)現(xiàn)有源非線性負(fù)阻元件的實(shí)現(xiàn)有源非線性負(fù)阻元件實(shí)現(xiàn)的方法有多種，這里使用的是一種較簡(jiǎn)單的電路：采用兩個(gè)運(yùn)算放大器（一個(gè)雙運(yùn)放TL082）和六個(gè)配置電阻來(lái)實(shí)現(xiàn)，其電路如圖5所示，它的伏安特性曲線如圖6所示。由于本實(shí)驗(yàn)研

6、究的是該非線性元件對(duì)整個(gè)電路的影響，只要知道它主要是一個(gè)負(fù)電阻電路（元件）能輸出電流，維持LC2振蕩器不斷振蕩，而非線性負(fù)阻元件的作用是使振動(dòng)周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列現(xiàn)象。圖5圖6圖7實(shí)際非線性混沌電路圖R13.3KR222KR322KR42.2KR5220R622032V84VT1ATL082TL082T1B567C210nFC1100nFRV1RV2CH2CH116mHL16T1A?R13.3KR222KR322KR42.2KR5