B型排列和錯(cuò)排上的組合性質(zhì)研究.pdf

1、集合的排列是代數(shù)和計(jì)數(shù)組合學(xué)上最豐富的研究對(duì)象之一。由于排列統(tǒng)計(jì)量的信息能幫助我們更好地理解排列的結(jié)構(gòu)，所以對(duì)排列上統(tǒng)計(jì)量的研究已經(jīng)持續(xù)了很長(zhǎng)一段時(shí)間，但依舊是當(dāng)今組合學(xué)一個(gè)十分活躍的課題。1993年，代數(shù)組合學(xué)家Reiner最先研究B型排列上的統(tǒng)計(jì)量分布。此后，B型排列以及更一般的Coxeter群上統(tǒng)計(jì)量的研究引起了廣泛關(guān)注。
　　 本文的主要工作是研究B型排列、錯(cuò)排和對(duì)合上統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，包括下降數(shù)、符號(hào)下降數(shù)、勝位、符號(hào)勝位

2、、圈、穩(wěn)定點(diǎn)和交錯(cuò)路段等。在第一章中，我們回顧了A型和B型排列上一些統(tǒng)計(jì)量的研究發(fā)展?fàn)顩r，同時(shí)介紹了本文所需的定義、記號(hào)和定理。
　　 在第二章中，基于合適的B型勝位，我們定義了B型錯(cuò)排多項(xiàng)式。通過(guò)建立B型錯(cuò)排多項(xiàng)式和B型歐拉多項(xiàng)式之間的聯(lián)系，我們得到了B型錯(cuò)排多項(xiàng)式的一些基本性質(zhì)，如生成函數(shù)公式、Sturm序列性質(zhì)和近似正態(tài)分布性。雖然錯(cuò)排多項(xiàng)式系數(shù)不具有對(duì)稱性，但我們證明其滿足螺旋性質(zhì)，也就是說(shuō)其系數(shù)幾乎是對(duì)稱的。此外，對(duì)于

3、B型排列和錯(cuò)排上的特殊勝位值，我們分別得到了關(guān)于B型勝位和Euler數(shù)、Springer數(shù)之間的關(guān)系式。
　　 在第三章中，我們定義了一個(gè)關(guān)于B型符號(hào)勝位在B型排列上的計(jì)數(shù)多項(xiàng)式，它涉及的統(tǒng)計(jì)量是B型勝位，穩(wěn)定點(diǎn)和圈。該多項(xiàng)式包含了一些著名的多項(xiàng)式作為其特例，如B型歐拉多項(xiàng)式和B型錯(cuò)排多項(xiàng)式。利用組合分析，我們得到了該多項(xiàng)式的遞推關(guān)系，并以此得到它的生成函數(shù)公式。通過(guò)構(gòu)造對(duì)合，我們給出了B型符號(hào)勝位在B型排列和B型錯(cuò)排上的遞推關(guān)

4、系和閉公式。
　　 在第四章中，我們提出了B型排列上交錯(cuò)路段的概念，記R(n，k)為在B型排列Bn中第一位上升且恰好具有k個(gè)交錯(cuò)路段的排列個(gè)數(shù)。我們得到R（n，k)的遞推關(guān)系，并由此計(jì)算出較小的后時(shí)R（n，k）的具體公式。我們研究系數(shù)R（n，k）的一些基本性質(zhì)，包括對(duì)數(shù)凹性，近似正態(tài)分布性和其路段多項(xiàng)式的實(shí)根性。更進(jìn)一步，我們討論了對(duì)于固定七的R（n，k）的生成函數(shù)，以此給出了R（n，k）的一個(gè)確切表達(dá)式。
　　 在第五