Canonical對(duì)偶理論在數(shù)學(xué)規(guī)劃和最優(yōu)控制中的應(yīng)用及其他.pdf

1、本文第一部分研究全局優(yōu)化問題和非線性最優(yōu)控制問題。
　　 本文利用Canonical對(duì)偶理論,研究帶有不等式約束和箱約束的二次規(guī)劃問題。非凸二次規(guī)劃問題是NP-hard的。利用Canonical對(duì)偶變換,將帶有不等式和箱約束的非凸問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凹函數(shù)的最大值問題。由于對(duì)偶問題與原問題具有相同的KKT點(diǎn),因此二者之間不存在任何對(duì)偶間隙。此外,還給出了全局最優(yōu)解和局部最優(yōu)解的判別條件。并證明了Canonical對(duì)偶方法的理論性質(zhì):當(dāng)

2、對(duì)偶問題在對(duì)偶正則集Sa+上有解時(shí),可以直接找到帶有不等式和箱約束的非凸問題的全局最優(yōu)解。
　　 作為Canonical對(duì)偶方法的重要應(yīng)用,本文研究了一類非線性最優(yōu)控制問題的數(shù)值求解方法。最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分,是目前數(shù)學(xué)控制理論中較活躍的一個(gè)研究方向。現(xiàn)有的一些數(shù)值求解法大都是把變分方法和求解非線性規(guī)劃問題的數(shù)值方法加以改造拓展而形成的,許多實(shí)際問題的求解仍然存在很大的困難。隨著代數(shù)和幾何方法引入控制理論,以H.

3、J.Sussmann為代表的許多學(xué)者利用李代數(shù)建立了現(xiàn)代非線性控制論。J.H.Zhu利用Lie級(jí)數(shù)離散非線性控制系統(tǒng),并結(jié)合值函數(shù)的粘性解方法,提出了用于求解最優(yōu)控制問題的一類數(shù)值算法。
　　 本文將利用Lie級(jí)數(shù)將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)帶有分片柱體約束的非線性最優(yōu)化問題。然后,把求解箱約束問題的Canonical對(duì)偶方法推廣到帶有分片柱體約束的問題,我們可以給出此類問題全局最優(yōu)解的一個(gè)充分條件。本文利用Canonical對(duì)偶方

4、法并結(jié)合Lie級(jí)數(shù)的相關(guān)理論,構(gòu)建了求解最優(yōu)控制問題的一種數(shù)值解法。從具體實(shí)例中不難看出,對(duì)于某些特殊的情況,運(yùn)用該方法可以得到最優(yōu)控制問題的精確解。
　　 本文第二部分研究一類帶有約束的最優(yōu)投資問題。
　　 本文探討了隨機(jī)最優(yōu)控制方法在一類帶有約束的最優(yōu)投資問題中的應(yīng)用。最優(yōu)投資理論是金融市場(chǎng)理論的重要分支,是風(fēng)險(xiǎn)控制與管理的主要課題之一。目前,一些比較成熟的方法,如鞅的方法,都需要基于完全市場(chǎng)的假設(shè)。而隨機(jī)控制方法涉

5、及到求解一個(gè)HJB偏微分方程方程,往往也很難得到最優(yōu)投資問題精確解。
　　 本文建立一類帶有約束條件的非完全市場(chǎng)最優(yōu)投資模型。通過變量代換,把關(guān)于終端財(cái)富的二次最小化問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)帶有錐約束的隨機(jī)LQ控制問題。研究了如何由隨機(jī)控制問題的解得到最優(yōu)的投資策略和消費(fèi)過程,并借助求解帶有錐約束的隨機(jī)控制問題的方法,推導(dǎo)出最優(yōu)控制問題精確解的形式。最后,利用粘性解的方法,設(shè)計(jì)了最優(yōu)投資問題的一種數(shù)值解法,并通過一個(gè)具體實(shí)例對(duì)計(jì)算過程進(jìn)行