保險(xiǎn)中帶注資的最優(yōu)分紅問題的研究.pdf

1、紅利分配問題自從上世紀(jì)以來一直都是金融保險(xiǎn)研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題，它主要來源于對(duì)公司金融/財(cái)務(wù)決策問題的研究。De Finetti最先提出以最大化破產(chǎn)前的期望累積折現(xiàn)分紅作為保險(xiǎn)公司價(jià)值的尺度，他指出了在一定意義上這是一種比用破產(chǎn)概率刻畫公司風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值更好更現(xiàn)實(shí)的一種尺度。最優(yōu)分紅問題的研究已具有很長(zhǎng)的歷史，繼De Finetti[26]研究了一類簡(jiǎn)單的離散時(shí)間的隨機(jī)游動(dòng)并證明其最優(yōu)分紅策略存在且為邊界策略(barrier strategy)

2、之后，許多文獻(xiàn)研究了更一般的離散時(shí)間的隨機(jī)模型，證明了最優(yōu)的分紅策略為所謂的帶狀策略(band策略)。Gerbe首次研究了連續(xù)時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模婺卜古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅問題，并利用離散化技巧證明了最優(yōu)策略為帶狀策略，特別地，當(dāng)索賠分布為指數(shù)型時(shí)，最優(yōu)策略退化為邊界策略。直到二十世紀(jì)九十年代精算學(xué)者開始把隨機(jī)控制理論應(yīng)用到保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中，最優(yōu)分紅問題才取得了突破性的進(jìn)展。其中大部分是基于對(duì)常系數(shù)擴(kuò)散模型及古典復(fù)合泊松模型這兩類具有平穩(wěn)獨(dú)立增量

3、的風(fēng)險(xiǎn)模型的研究以及少數(shù)利用波動(dòng)理論對(duì)譜負(fù)Lévy模型的研究。在這類問題的研究中，為了使分紅量盡可能的大，保險(xiǎn)公司可能會(huì)采取一些相應(yīng)的措施例如再保險(xiǎn)或投資金融市場(chǎng)。這時(shí)保險(xiǎn)公司所面臨的問題就是如何尋找最優(yōu)的再保險(xiǎn)和投資策略使得總紅利達(dá)到最大，這類問題都屬于金融保險(xiǎn)中的隨機(jī)最優(yōu)控制問題。參考文章Albrecher and Thoahauser,Asmussen and Taksar，Asmussen et al.,Azcue and Mu

4、ler,Belhaj,Choulli et al.,Choulli[21],Gerber andShiu[34,35],H(φ)jgaard and Taksar,Paulsen[58],Paulsen and Gjessing，Taksar，等等。
　　 通過對(duì)擴(kuò)散模型中以及經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型中最優(yōu)分紅問題的研究，我們知道最優(yōu)的分紅策略通常為邊界或帶狀分紅策略，而如果公司按照此策略進(jìn)行紅利分配的話，公司一定會(huì)破產(chǎn)。因此為了克服這一缺

5、陷，Sethi and Taksar[65]提出了在這一模型中引入融資的可能性，即當(dāng)公司一旦出現(xiàn)赤字，公司可以通過籌資防止公司破產(chǎn)，從而使公司能繼續(xù)經(jīng)營(yíng)下去，而且還證明了此時(shí)公司的價(jià)值等于破產(chǎn)前公司收到紅利的期望折現(xiàn)值減去融資的期望總成本。此時(shí)公司所面臨的問題是如何選擇分紅及注資策略才能使上述公司的價(jià)值最大化（此問題以下簡(jiǎn)記為“分紅減注資”）。
　　 基于以上背景，我的論文主要致力于研究帶注資的最優(yōu)分紅問題，這也是本文的主體部分

6、。另外，除了用破產(chǎn)前總的分紅量來衡量公司的價(jià)值以外，期望財(cái)富效用（某時(shí)刻的期望財(cái)富效用或者某段．時(shí)同的累積期望財(cái)富效用）一直以來也是很多公司用來衡量公司價(jià)值的重要尺度之一。因此以期望財(cái)富效用作為優(yōu)化準(zhǔn)則的最優(yōu)控制問題是本文研究的第二類問題。本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下：
　　 全文分三個(gè)部分共七章。第一部分（即第1章）為引論部分，著重介紹了分紅問題的相關(guān)背景以及本文的主要內(nèi)容及結(jié)果，另外還分別介紹了本篇論文所用到的主要符號(hào)，基礎(chǔ)

7、框架模型以及基本的隨機(jī)最優(yōu)控制理論。
　　 論文的第二部分研究以帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)以及經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型作為基礎(chǔ)框架模型下的最優(yōu)分紅和注資問題。這一部分一共分為四章，包括第2章至第5章。
　　 第2章以古典模型的擴(kuò)散近似模型作為基礎(chǔ)框架，引入便宜型混合再保險(xiǎn)，考慮了“分紅減注資”目標(biāo)下的最優(yōu)分紅注資問題。這里的混合再保險(xiǎn)指的是比例再保險(xiǎn)與超額損失再保險(xiǎn)的混合（下文相同）。通過構(gòu)造一類子模型“注資保證永不破產(chǎn)”，并利用該子模型值函

8、數(shù)非負(fù)的性質(zhì)以及基本的隨機(jī)最優(yōu)控制理論我們證明了這類子模型的值函數(shù)就是所求最優(yōu)問題的值函數(shù)，這樣我們將最初的未帶初始條件的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程轉(zhuǎn)化為帶初始條件的HJB方程，從而問題得到簡(jiǎn)化。同時(shí)，我們也證明了在這類最優(yōu)準(zhǔn)則下最優(yōu)混合再保險(xiǎn)策略為純超額損失再保險(xiǎn)策略，結(jié)合Asmussen et al.[4]中的結(jié)論，我們驗(yàn)證了在擴(kuò)散模型中以最大化累積期望折現(xiàn)分紅作為目標(biāo)函數(shù)時(shí)，融資機(jī)會(huì)的引入不改變超

9、額損失再保險(xiǎn)優(yōu)于比例再保險(xiǎn)的性質(zhì)。
　　 第3章將再保險(xiǎn)推廣到了一般的情形，既包括便宜型也包括非便宜比例再保險(xiǎn)，研究了“分紅減注資”目標(biāo)下常系數(shù)擴(kuò)散模型中的最優(yōu)分紅注資問題。與第2章類似，本章的困難之一是值函數(shù)在零點(diǎn)的邊界條件未知。利用L(φ)kka andZervos[51]中的思想，我們首先構(gòu)造兩類子模型“永不注資”以及“注資保證永遠(yuǎn)不破產(chǎn)”（這兩類子模型值函數(shù)的邊界條件已知）并通過HJB方程的方法分別計(jì)算出這兩類子模型下的

10、最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式表達(dá)式，然后再利用驗(yàn)證定理及子模型值函數(shù)的表達(dá)式證明了原問題的最優(yōu)解要么與“永不注資”相同,要么與“注資保證永遠(yuǎn)不破產(chǎn)”一致，這取決于模型中的參數(shù)關(guān)系。最后通過一些數(shù)值計(jì)算，得到了比較好的結(jié)果，并對(duì)它的經(jīng)濟(jì)意義進(jìn)行了描述。
　　 第2，3章均以擴(kuò)散模型作為基礎(chǔ)框架，而第4章與第5章主要致力于研究以古典風(fēng)險(xiǎn)模型（包括離散時(shí)間與連續(xù)時(shí)間這兩種情形）作為基礎(chǔ)框架的最優(yōu)分紅與注資問題。關(guān)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅問題

11、的研究，一直以來都是一個(gè)難點(diǎn)，原因是該情景下所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方程不再有連續(xù)可微的解且邊界條件也未知。相關(guān)文獻(xiàn)如Albrecher and Thonhauser[1],Azcue and Muler[6]利用粘性解理論證明了在此類模型中最優(yōu)策略為band分紅策略，除了對(duì)一些特殊的索賠分布能得到關(guān)于最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)的閉式解以外，其它大部分情形均無法得到顯式解。而Kulenko and Schmidli[48]首次在古典模型中引入融資機(jī)會(huì)，并

12、且在保證公司永遠(yuǎn)不破產(chǎn)的約束下，討論了“分紅減注資”準(zhǔn)則下的最優(yōu)分紅和注資問題，結(jié)果表明，對(duì)任意索賠分布，最優(yōu)分紅策略均為邊界分紅策略。這是一個(gè)非常好的結(jié)論，但是該文的一個(gè)缺陷是，只得到了某些特殊的索賠分布如指數(shù)索賠分布下的最優(yōu)分紅邊界以及值函數(shù)的顯式表達(dá)式。在第4章，我們將古典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行離散化，包括時(shí)間與狀態(tài)，即研究時(shí)間與狀態(tài)均離散的雙離散古典風(fēng)險(xiǎn)模型中的最優(yōu)分紅與注資問題。用離散模型研究問題有一定的合理性與優(yōu)越性，這是因?yàn)榕c連續(xù)時(shí)

13、間模型相比，離散模型有其自身的優(yōu)勢(shì)，一是更貼近實(shí)際，在現(xiàn)實(shí)中紅利的分配與融資都是在離散的時(shí)刻進(jìn)行的，二是具有遞歸的性質(zhì)更容易進(jìn)行數(shù)值模擬。同時(shí)我們加入了與Kulenko and Schmidli[48]相同的約束條件“通過注資保證公司永遠(yuǎn)不破產(chǎn)”。首先利用壓縮映射原理我們證明了值函數(shù)為某一離散型HJB方程的唯一解，再通過證明該問題值函數(shù)差分函數(shù)具有遞減的性質(zhì)，我們證明了對(duì)于任意索賠分布最優(yōu)分紅策略均為邊界策略，最優(yōu)的資金注入策略為當(dāng)公司

14、出現(xiàn)負(fù)資產(chǎn)的時(shí)候，立即注入資金使公司的資產(chǎn)恢復(fù)到0。尤為重要的是，對(duì)于任意離散索賠分布，我們均可利用數(shù)值算法得到其最優(yōu)分紅邊界和最優(yōu)值函數(shù)在任意一點(diǎn)的值，這一結(jié)論克服了相應(yīng)連續(xù)時(shí)間模型Kulenko and Schmidli[48]中“只能得到某些特殊的索賠分布如指數(shù)索賠分布下的最優(yōu)分紅邊界以及值函數(shù)的顯示表達(dá)式”這一缺陷。
　　 以上幾章中我們僅考慮了比例費(fèi)用，但在實(shí)際金融市場(chǎng)中，分紅與籌資除了考慮與分紅額或籌資額大小有關(guān)的比

15、例費(fèi)用外，往往還需要一定數(shù)額的與分紅額或籌資額大小無關(guān)的固定費(fèi)用，如咨詢費(fèi)，手續(xù)費(fèi)等。固定費(fèi)用的引入使得分紅或籌資只能在離散的時(shí)刻發(fā)生，從而將原來的奇異控制問題變成脈沖控制問題；而且往往會(huì)使問題的研究變得更為復(fù)雜，包括計(jì)算值函數(shù)的表達(dá)式以及最優(yōu)分紅策略的形式。連續(xù)時(shí)間擴(kuò)散模型以及某些特殊索賠下的古典風(fēng)險(xiǎn)模型中帶固定交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅問題在過去一段時(shí)間里得到了很多學(xué)者的關(guān)注，例如以擴(kuò)散模型作為框架的Cadenillas et al.[16

16、]，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[44]以及以古典模型作為框架的Bai and Guo[9]。在這些文獻(xiàn)中，固定費(fèi)用的引入使得最優(yōu)分紅策略由原來的邊界分紅策略變?yōu)閴K狀邊界策略（即存在兩個(gè)邊界，當(dāng)盈余到達(dá)上邊界時(shí)，進(jìn)行分紅，盈余減少到下邊界）。因此在第5章中，我們?cè)谶B續(xù)時(shí)間的古典風(fēng)險(xiǎn)模型中考慮了分紅和籌資均需固定交易費(fèi)用時(shí)的最優(yōu)分紅和注資問題，即在Bai and Guo[9]的基礎(chǔ)上引入融資機(jī)會(huì)并在保證公司永

17、遠(yuǎn)不破產(chǎn)的約束下討論其最優(yōu)解。這也是首次在古典模型中同時(shí)引入注資和固定費(fèi)用。利用脈沖控制理論，我們首先證明了該問題值函數(shù)在粘性解的意義下滿足某擬變分不等式并給出了驗(yàn)證定理。此外，當(dāng)索賠分布服從指數(shù)分布時(shí)，通過構(gòu)造相應(yīng)逆變分不等式的解我們得到了值函數(shù)的顯式表達(dá)式，并且證明了最優(yōu)分紅注資策略是所謂的“雙塊狀邊界策略”。具體地說，即存在兩個(gè)上邊界a1，a2，兩個(gè)下邊界b1，O滿足a1>a2≥b1≥0,當(dāng)盈余到達(dá)a1時(shí)，進(jìn)行分紅使盈余減少到a2

18、，當(dāng)盈余低于0時(shí)（出現(xiàn)負(fù)資產(chǎn)），立即注入資金使公司的資產(chǎn)恢復(fù)到某個(gè)非負(fù)的水平b1。
　　 本文的第三部分是基于最大化財(cái)富效用問題的研究，包括第6章和第7章。
　　 過去幾十年里，最大化期望終端財(cái)富效用問題一直是金融學(xué)和保險(xiǎn)精算學(xué)中的熱門話題。Browne[14]假設(shè)公司的盈余過程服從帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)并且可以投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票，討論了最大化終端指數(shù)效用標(biāo)準(zhǔn)下的最優(yōu)投資問題；Yang andZhang[69]將此模型推廣到跳擴(kuò)

19、散風(fēng)險(xiǎn)模型中，考慮了相同目標(biāo)下的最優(yōu)控制問題；Bai and Guo[8]，Cao and Wan[18]進(jìn)一步將投資與比例再保險(xiǎn)同時(shí)考慮到帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)模型中，考慮了最大化終端指數(shù)效用準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資與比例再保險(xiǎn)問題。但是到目前為止，還沒有文章同時(shí)將投資與再保險(xiǎn)引入帶跳的風(fēng)險(xiǎn)模型中，考慮終端指數(shù)效用準(zhǔn)則下的最優(yōu)化問題。因此第6章以古典風(fēng)險(xiǎn)模型作為框架，同時(shí)加入兩類控制策略，一為投資金融市場(chǎng)，包括無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)債券以及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票，二為購(gòu)

20、買混合再保險(xiǎn)，包括比例再保險(xiǎn)與超額損失再保險(xiǎn)，以最大化期望終端指數(shù)效用為優(yōu)化準(zhǔn)則，在允許借入以及再保險(xiǎn)公司承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)不超過最大風(fēng)險(xiǎn)敞口的前提下討論了相應(yīng)的最優(yōu)投資和再保問題。本章首次在帶跳的風(fēng)險(xiǎn)模型中同時(shí)引入投資和混合再保險(xiǎn)并考慮終端指數(shù)效用準(zhǔn)則下的最優(yōu)化問題。我們首先利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論的方法給出相應(yīng)值函數(shù)所滿足的HJB方程，再利用Yang and Zhang[69]中解的構(gòu)造技巧得到了值函數(shù)以及最優(yōu)策略的顯示表達(dá)式，并證明了再保險(xiǎn)策略

21、的引入并不影響最優(yōu)投資策略的選擇，同時(shí)還證明了最優(yōu)混合再保險(xiǎn)為超額損失再保險(xiǎn)，這一結(jié)論再一次在新的模型新的準(zhǔn)則下證明了超額損失再保險(xiǎn)是比比例再保險(xiǎn)更好的再保方式。
　　 第7章同樣考慮最大期望財(cái)富效用問題，與第6章不同的是以Egami and Young[28]中“破產(chǎn)前總的期望折現(xiàn)線性財(cái)富效用”作為優(yōu)化準(zhǔn)則，并引入投資，不同于前面的投資，這里投資的資產(chǎn)不是金融市場(chǎng)上的債權(quán)或股票，而是一種實(shí)物期權(quán)（公司花費(fèi)固定的費(fèi)用投資一項(xiàng)新技

22、術(shù)，使得公司在保證收益過程的波動(dòng)率不變的同時(shí)提高期望收益率），也稱為增長(zhǎng)期權(quán)，研究的問題是是否需要投資及何時(shí)進(jìn)行投資才能最大化公司的期望效用。我們首先通過財(cái)富過程的強(qiáng)馬氏性將問題轉(zhuǎn)化為一標(biāo)準(zhǔn)形式的最優(yōu)停時(shí)問題，再利用Dayanik and Karatzas[24]中關(guān)于一維擴(kuò)散過程的最優(yōu)停時(shí)理論，我們求出了最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯示表達(dá)式。
　　 我的博士論文主要利用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論，脈沖控制理論，泛函分析理論以及最優(yōu)停時(shí)理論解

23、決了幾類保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)模型中在“分紅減注資”以及“最大化期望財(cái)富效用”這兩類最優(yōu)準(zhǔn)則下的控制問題。包括擴(kuò)散模型中在混合便宜再保險(xiǎn)及非便宜比例再保險(xiǎn)情形下的最優(yōu)分紅與注資問題，雙離散古典模型在不破產(chǎn)約束下的最優(yōu)分紅注資問題，以及古典模型中分紅與注資均需固定費(fèi)用的在不破產(chǎn)約束下的最優(yōu)分紅注資問題；古典模型中以最大化期望終端指數(shù)財(cái)富效用準(zhǔn)則下的最優(yōu)混合再保險(xiǎn)與投資問題以及有增長(zhǎng)期權(quán)投資機(jī)會(huì)下的最優(yōu)累積折現(xiàn)線性財(cái)富效用問題。本文對(duì)幾乎所有的最優(yōu)控制問