保險中帶注資的最優(yōu)分紅問題的研究.pdf

1、紅利分配問題自從上世紀以來一直都是金融保險研究的一個熱點問題，它主要來源于對公司金融/財務(wù)決策問題的研究。De Finetti最先提出以最大化破產(chǎn)前的期望累積折現(xiàn)分紅作為保險公司價值的尺度，他指出了在一定意義上這是一種比用破產(chǎn)概率刻畫公司風(fēng)險價值更好更現(xiàn)實的一種尺度。最優(yōu)分紅問題的研究已具有很長的歷史，繼De Finetti[26]研究了一類簡單的離散時間的隨機游動并證明其最優(yōu)分紅策略存在且為邊界策略(barrier strategy)

2、之后，許多文獻研究了更一般的離散時間的隨機模型，證明了最優(yōu)的分紅策略為所謂的帶狀策略(band策略)。Gerbe首次研究了連續(xù)時間風(fēng)險模婺卜古典風(fēng)險模型中的最優(yōu)分紅問題，并利用離散化技巧證明了最優(yōu)策略為帶狀策略，特別地，當(dāng)索賠分布為指數(shù)型時，最優(yōu)策略退化為邊界策略。直到二十世紀九十年代精算學(xué)者開始把隨機控制理論應(yīng)用到保險風(fēng)險模型中，最優(yōu)分紅問題才取得了突破性的進展。其中大部分是基于對常系數(shù)擴散模型及古典復(fù)合泊松模型這兩類具有平穩(wěn)獨立增量

3、的風(fēng)險模型的研究以及少數(shù)利用波動理論對譜負Lévy模型的研究。在這類問題的研究中，為了使分紅量盡可能的大，保險公司可能會采取一些相應(yīng)的措施例如再保險或投資金融市場。這時保險公司所面臨的問題就是如何尋找最優(yōu)的再保險和投資策略使得總紅利達到最大，這類問題都屬于金融保險中的隨機最優(yōu)控制問題。參考文章Albrecher and Thoahauser,Asmussen and Taksar，Asmussen et al.,Azcue and Mu

4、ler,Belhaj,Choulli et al.,Choulli[21],Gerber andShiu[34,35],H(φ)jgaard and Taksar,Paulsen[58],Paulsen and Gjessing，Taksar，等等。
　　 通過對擴散模型中以及經(jīng)典風(fēng)險模型中最優(yōu)分紅問題的研究，我們知道最優(yōu)的分紅策略通常為邊界或帶狀分紅策略，而如果公司按照此策略進行紅利分配的話，公司一定會破產(chǎn)。因此為了克服這一缺

5、陷，Sethi and Taksar[65]提出了在這一模型中引入融資的可能性，即當(dāng)公司一旦出現(xiàn)赤字，公司可以通過籌資防止公司破產(chǎn)，從而使公司能繼續(xù)經(jīng)營下去，而且還證明了此時公司的價值等于破產(chǎn)前公司收到紅利的期望折現(xiàn)值減去融資的期望總成本。此時公司所面臨的問題是如何選擇分紅及注資策略才能使上述公司的價值最大化（此問題以下簡記為“分紅減注資”）。
　　 基于以上背景，我的論文主要致力于研究帶注資的最優(yōu)分紅問題，這也是本文的主體部分

6、。另外，除了用破產(chǎn)前總的分紅量來衡量公司的價值以外，期望財富效用（某時刻的期望財富效用或者某段．時同的累積期望財富效用）一直以來也是很多公司用來衡量公司價值的重要尺度之一。因此以期望財富效用作為優(yōu)化準則的最優(yōu)控制問題是本文研究的第二類問題。本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下：
　　 全文分三個部分共七章。第一部分（即第1章）為引論部分，著重介紹了分紅問題的相關(guān)背景以及本文的主要內(nèi)容及結(jié)果，另外還分別介紹了本篇論文所用到的主要符號，基礎(chǔ)

7、框架模型以及基本的隨機最優(yōu)控制理論。
　　 論文的第二部分研究以帶漂移的布朗運動以及經(jīng)典風(fēng)險模型作為基礎(chǔ)框架模型下的最優(yōu)分紅和注資問題。這一部分一共分為四章，包括第2章至第5章。
　　 第2章以古典模型的擴散近似模型作為基礎(chǔ)框架，引入便宜型混合再保險，考慮了“分紅減注資”目標下的最優(yōu)分紅注資問題。這里的混合再保險指的是比例再保險與超額損失再保險的混合（下文相同）。通過構(gòu)造一類子模型“注資保證永不破產(chǎn)”，并利用該子模型值函

8、數(shù)非負的性質(zhì)以及基本的隨機最優(yōu)控制理論我們證明了這類子模型的值函數(shù)就是所求最優(yōu)問題的值函數(shù)，這樣我們將最初的未帶初始條件的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程轉(zhuǎn)化為帶初始條件的HJB方程，從而問題得到簡化。同時，我們也證明了在這類最優(yōu)準則下最優(yōu)混合再保險策略為純超額損失再保險策略，結(jié)合Asmussen et al.[4]中的結(jié)論，我們驗證了在擴散模型中以最大化累積期望折現(xiàn)分紅作為目標函數(shù)時，融資機會的引入不改變超

9、額損失再保險優(yōu)于比例再保險的性質(zhì)。
　　 第3章將再保險推廣到了一般的情形，既包括便宜型也包括非便宜比例再保險，研究了“分紅減注資”目標下常系數(shù)擴散模型中的最優(yōu)分紅注資問題。與第2章類似，本章的困難之一是值函數(shù)在零點的邊界條件未知。利用L(φ)kka andZervos[51]中的思想，我們首先構(gòu)造兩類子模型“永不注資”以及“注資保證永遠不破產(chǎn)”（這兩類子模型值函數(shù)的邊界條件已知）并通過HJB方程的方法分別計算出這兩類子模型下的

10、最優(yōu)策略和值函數(shù)的顯式表達式，然后再利用驗證定理及子模型值函數(shù)的表達式證明了原問題的最優(yōu)解要么與“永不注資”相同,要么與“注資保證永遠不破產(chǎn)”一致，這取決于模型中的參數(shù)關(guān)系。最后通過一些數(shù)值計算，得到了比較好的結(jié)果，并對它的經(jīng)濟意義進行了描述。
　　 第2，3章均以擴散模型作為基礎(chǔ)框架，而第4章與第5章主要致力于研究以古典風(fēng)險模型（包括離散時間與連續(xù)時間這兩種情形）作為基礎(chǔ)框架的最優(yōu)分紅與注資問題。關(guān)于古典風(fēng)險模型的最優(yōu)分紅問題

11、的研究，一直以來都是一個難點，原因是該情景下所對應(yīng)的最優(yōu)方程不再有連續(xù)可微的解且邊界條件也未知。相關(guān)文獻如Albrecher and Thonhauser[1],Azcue and Muler[6]利用粘性解理論證明了在此類模型中最優(yōu)策略為band分紅策略，除了對一些特殊的索賠分布能得到關(guān)于最優(yōu)策略和最優(yōu)值函數(shù)的閉式解以外，其它大部分情形均無法得到顯式解。而Kulenko and Schmidli[48]首次在古典模型中引入融資機會，并

12、且在保證公司永遠不破產(chǎn)的約束下，討論了“分紅減注資”準則下的最優(yōu)分紅和注資問題，結(jié)果表明，對任意索賠分布，最優(yōu)分紅策略均為邊界分紅策略。這是一個非常好的結(jié)論，但是該文的一個缺陷是，只得到了某些特殊的索賠分布如指數(shù)索賠分布下的最優(yōu)分紅邊界以及值函數(shù)的顯式表達式。在第4章，我們將古典風(fēng)險模型進行離散化，包括時間與狀態(tài)，即研究時間與狀態(tài)均離散的雙離散古典風(fēng)險模型中的最優(yōu)分紅與注資問題。用離散模型研究問題有一定的合理性與優(yōu)越性，這是因為與連續(xù)時

13、間模型相比，離散模型有其自身的優(yōu)勢，一是更貼近實際，在現(xiàn)實中紅利的分配與融資都是在離散的時刻進行的，二是具有遞歸的性質(zhì)更容易進行數(shù)值模擬。同時我們加入了與Kulenko and Schmidli[48]相同的約束條件“通過注資保證公司永遠不破產(chǎn)”。首先利用壓縮映射原理我們證明了值函數(shù)為某一離散型HJB方程的唯一解，再通過證明該問題值函數(shù)差分函數(shù)具有遞減的性質(zhì)，我們證明了對于任意索賠分布最優(yōu)分紅策略均為邊界策略，最優(yōu)的資金注入策略為當(dāng)公司

14、出現(xiàn)負資產(chǎn)的時候，立即注入資金使公司的資產(chǎn)恢復(fù)到0。尤為重要的是，對于任意離散索賠分布，我們均可利用數(shù)值算法得到其最優(yōu)分紅邊界和最優(yōu)值函數(shù)在任意一點的值，這一結(jié)論克服了相應(yīng)連續(xù)時間模型Kulenko and Schmidli[48]中“只能得到某些特殊的索賠分布如指數(shù)索賠分布下的最優(yōu)分紅邊界以及值函數(shù)的顯示表達式”這一缺陷。
　　 以上幾章中我們僅考慮了比例費用，但在實際金融市場中，分紅與籌資除了考慮與分紅額或籌資額大小有關(guān)的比

15、例費用外，往往還需要一定數(shù)額的與分紅額或籌資額大小無關(guān)的固定費用，如咨詢費，手續(xù)費等。固定費用的引入使得分紅或籌資只能在離散的時刻發(fā)生，從而將原來的奇異控制問題變成脈沖控制問題；而且往往會使問題的研究變得更為復(fù)雜，包括計算值函數(shù)的表達式以及最優(yōu)分紅策略的形式。連續(xù)時間擴散模型以及某些特殊索賠下的古典風(fēng)險模型中帶固定交易費用的最優(yōu)分紅問題在過去一段時間里得到了很多學(xué)者的關(guān)注，例如以擴散模型作為框架的Cadenillas et al.[16

16、]，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[44]以及以古典模型作為框架的Bai and Guo[9]。在這些文獻中，固定費用的引入使得最優(yōu)分紅策略由原來的邊界分紅策略變?yōu)閴K狀邊界策略（即存在兩個邊界，當(dāng)盈余到達上邊界時，進行分紅，盈余減少到下邊界）。因此在第5章中，我們在連續(xù)時間的古典風(fēng)險模型中考慮了分紅和籌資均需固定交易費用時的最優(yōu)分紅和注資問題，即在Bai and Guo[9]的基礎(chǔ)上引入融資機會并在保證公司永

17、遠不破產(chǎn)的約束下討論其最優(yōu)解。這也是首次在古典模型中同時引入注資和固定費用。利用脈沖控制理論，我們首先證明了該問題值函數(shù)在粘性解的意義下滿足某擬變分不等式并給出了驗證定理。此外，當(dāng)索賠分布服從指數(shù)分布時，通過構(gòu)造相應(yīng)逆變分不等式的解我們得到了值函數(shù)的顯式表達式，并且證明了最優(yōu)分紅注資策略是所謂的“雙塊狀邊界策略”。具體地說，即存在兩個上邊界a1，a2，兩個下邊界b1，O滿足a1>a2≥b1≥0,當(dāng)盈余到達a1時，進行分紅使盈余減少到a2

18、，當(dāng)盈余低于0時（出現(xiàn)負資產(chǎn)），立即注入資金使公司的資產(chǎn)恢復(fù)到某個非負的水平b1。
　　 本文的第三部分是基于最大化財富效用問題的研究，包括第6章和第7章。
　　 過去幾十年里，最大化期望終端財富效用問題一直是金融學(xué)和保險精算學(xué)中的熱門話題。Browne[14]假設(shè)公司的盈余過程服從帶漂移的布朗運動并且可以投資風(fēng)險資產(chǎn)股票，討論了最大化終端指數(shù)效用標準下的最優(yōu)投資問題；Yang andZhang[69]將此模型推廣到跳擴

19、散風(fēng)險模型中，考慮了相同目標下的最優(yōu)控制問題；Bai and Guo[8]，Cao and Wan[18]進一步將投資與比例再保險同時考慮到帶漂移的布朗運動模型中，考慮了最大化終端指數(shù)效用準則下的最優(yōu)投資與比例再保險問題。但是到目前為止，還沒有文章同時將投資與再保險引入帶跳的風(fēng)險模型中，考慮終端指數(shù)效用準則下的最優(yōu)化問題。因此第6章以古典風(fēng)險模型作為框架，同時加入兩類控制策略，一為投資金融市場，包括無風(fēng)險資產(chǎn)債券以及風(fēng)險資產(chǎn)股票，二為購

20、買混合再保險，包括比例再保險與超額損失再保險，以最大化期望終端指數(shù)效用為優(yōu)化準則，在允許借入以及再保險公司承擔(dān)風(fēng)險不超過最大風(fēng)險敞口的前提下討論了相應(yīng)的最優(yōu)投資和再保問題。本章首次在帶跳的風(fēng)險模型中同時引入投資和混合再保險并考慮終端指數(shù)效用準則下的最優(yōu)化問題。我們首先利用隨機動態(tài)規(guī)劃理論的方法給出相應(yīng)值函數(shù)所滿足的HJB方程，再利用Yang and Zhang[69]中解的構(gòu)造技巧得到了值函數(shù)以及最優(yōu)策略的顯示表達式，并證明了再保險策略

21、的引入并不影響最優(yōu)投資策略的選擇，同時還證明了最優(yōu)混合再保險為超額損失再保險，這一結(jié)論再一次在新的模型新的準則下證明了超額損失再保險是比比例再保險更好的再保方式。
　　 第7章同樣考慮最大期望財富效用問題，與第6章不同的是以Egami and Young[28]中“破產(chǎn)前總的期望折現(xiàn)線性財富效用”作為優(yōu)化準則，并引入投資，不同于前面的投資，這里投資的資產(chǎn)不是金融市場上的債權(quán)或股票，而是一種實物期權(quán)（公司花費固定的費用投資一項新技

22、術(shù)，使得公司在保證收益過程的波動率不變的同時提高期望收益率），也稱為增長期權(quán)，研究的問題是是否需要投資及何時進行投資才能最大化公司的期望效用。我們首先通過財富過程的強馬氏性將問題轉(zhuǎn)化為一標準形式的最優(yōu)停時問題，再利用Dayanik and Karatzas[24]中關(guān)于一維擴散過程的最優(yōu)停時理論，我們求出了最優(yōu)投資策略和值函數(shù)的顯示表達式。
　　 我的博士論文主要利用隨機動態(tài)規(guī)劃理論，脈沖控制理論，泛函分析理論以及最優(yōu)停時理論解

23、決了幾類保險風(fēng)險模型中在“分紅減注資”以及“最大化期望財富效用”這兩類最優(yōu)準則下的控制問題。包括擴散模型中在混合便宜再保險及非便宜比例再保險情形下的最優(yōu)分紅與注資問題，雙離散古典模型在不破產(chǎn)約束下的最優(yōu)分紅注資問題，以及古典模型中分紅與注資均需固定費用的在不破產(chǎn)約束下的最優(yōu)分紅注資問題；古典模型中以最大化期望終端指數(shù)財富效用準則下的最優(yōu)混合再保險與投資問題以及有增長期權(quán)投資機會下的最優(yōu)累積折現(xiàn)線性財富效用問題。本文對幾乎所有的最優(yōu)控制問