古典分紅模型與最優(yōu)再保險策略.pdf

1、做為精算數(shù)學的一部分，自從Lundberg理論的創(chuàng)立到現(xiàn)今，集體風險理論已經成為研究領域中最為活躍的部分.在集體風險理論中，古典風險模型是用一個具有空間齊次性和獨立增量性的復合泊松過程來描述的.正是因為古典風險模型具有這么完美的性質，在此模型下幾乎所有的精算變量的精確結果都已經得到明確的解析形式.其中這些精算變量包括破產時間、破產前余額、破產后赤字等等.針對這些精算變量，破產概率和Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)這兩個問題受到了學者廣

2、泛的研究. 另外，在最近的一些文獻中，基于集體風險理論上的最優(yōu)分紅問題引起了學者的很大興趣.BrunoDeFinetti于1957年在紐約召開的國際精算會議上報告了一篇論文，文章中首次提出了保險風險模型的分紅策略，并用它來更為現(xiàn)實的反映一個保險組合中的剩余現(xiàn)金流.DeFinetti在文章中批判說在實務中公司的破產概率是很小的，只用破產概率做為評估準則是極端保守的.我們可以通過在將來的某個時刻減少公司的剩余來避免這個困境，也就是說

3、保險人可以通過向股東派發(fā)紅利來減少自己的資產剩余.在這個思想的基礎上，我們要考慮的問題就是：在可能的破產前所有分紅的期望折現(xiàn)是多少?什么樣的分紅策略可以使得期望折現(xiàn)分紅達到最大?到目前為止，許多的文獻都致力于描述和討論由DeFinetti提出的分紅策略問題.在本篇論文中，我們考慮一種常見但是非常有用的分紅策略：門檻分紅策略. 在這些背景基礎之上，我的博士畢業(yè)論文主要致力于在具有一類門檻分紅策略的古典風險模型上進行破產理論和最優(yōu)控

4、制理論的研究.本篇論文的結構是按如下章節(jié)安排的.在第二章中，通過研究具有一個常數(shù)邊界分紅策略(是門檻分紅策略的—個特殊情況)的古典風險模型，我們首次從分紅的角度出發(fā)討論了隱藏在分紅問題背后的一些經典結果.在第三章中，我們對具有一般門檻分紅策略的古典風險模型研究了破產概率，Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，分紅問題以及占位時等內容.在第四章中，我們考慮具有常數(shù)分紅邊界策略的古典風險模型，同時對于負剩余時加上利率的情形，也就是允許公司可以

5、進行融資來彌補赤字.絕對破產概率，分紅問題以及Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)等內容都依次給予了討論.在最后一章我們研究了保險人為了最小化公司的破產概率所應該采取的最優(yōu)再保險策略，這里公司的風險剩余過程我們用一個具有正漂移的維納過程(布朗運動)來描述. 該論文首先對古典風險模型、模型中一些基本的定義以及本篇論文的主要內容在第一章中做了簡要的回顧和敘述.然后就是本篇論文的主體內容部分. 第一，我們從研究具有一個常數(shù)邊界分

6、紅策略的古典風險模型的分紅問題入手，這里常數(shù)邊界分紅策略是門檻策略的特殊情況.在此模型下的分紅問題是在Finetti(1957)文章中首次提出，隨后被KarlBorch等其他的學者進行了深入廣泛的研究.同時我們也可以在Bühlmann(1970，6.4節(jié))，Gerber(1979，10.1節(jié))和Seal(1969，P163-166)等專著和他們的一些參考文獻中找到對這個問題的討論.BühImann(1970)研究了破產前期望折現(xiàn)分紅并在

7、一般索賠分布下給出了它的一個解析表達式，另外也討論了最優(yōu)分紅邊界.在Gerber和Shiu(1998)文章的最后一部分中，作者通過分析古典風險模型中的一個關于首達時和破產時得到的結果，對破產前期望折現(xiàn)分紅給出了一個新的表達式.受Gerber和Shiu(1998)的啟發(fā)，我們這里從相反的思路來考慮分紅問題.首先我們在公司破產后風險過程是否繼續(xù)運行兩種情形下分別給出了各自期望折現(xiàn)分紅的表達式.然后基于這兩個表達式，我們給出了隱藏在分紅問題背

8、后的一些經典結果. 第二，我們來考慮有一般門檻分紅策略的復合風險模型.具有兩階段保費率的古典風險模型最早是在Asmussen(2000)第七章1a中給予了介紹.我們可以把這個模型解釋為保險人對與復合泊松模型應用一個門檻分紅策略，因此有兩階段保費率的古典風險模型也被稱為具有一個門檻分紅策略的古典風險模型.在第三章中，我們集中討論了此模型并得到了下面一些結果.具有門檻分紅策略的古典風險模型的破產概率問題首先是在Asmussen(20

9、00)給予了討論.對比Asmussen(2000)中得到的結果，利用風險剩余過程的強馬爾可夫性和古典風險模型下破產時赤字的分布我們首先得到了一個更為直接的生存概率的表達式，另外，做為Lin等(2003)這篇文章結果的擴展，我們通過結合Gerber和Shiu(1998)以及Lin等(2003)兩篇文章中的方法，給出了在具有門檻分紅策略的古典風險模型下的Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)的明確表達式.與此同時，此模型下的分紅問題也是我們主要

10、興趣所在.我們推倒出了破產前期望折現(xiàn)分紅的結果，并通過分析破產前期望折現(xiàn)分紅的表達式，給出了最優(yōu)分紅邊界.考慮到在實際中保險人和股東都很關心無分紅的期望時間，我們最后還考慮了此模型下的占位時問題. 另外，古典風險模型的另外一個拓展是允許保險人在風險剩余為負時可以向銀行等機構融資從而保證其商業(yè)活動繼續(xù)正常運行，這就是我們說的負剩余時帶利率的古典風險模型.這個模型是在Dassios和Embrechts(1989)中首次提出的，在Zh

11、ang和Wu(1999)中首次被稱為”D-E模型”.在此模型中，當公司的風險剩余跌倒一個負邊界以下，而不是跌倒0以下，公司才宣布“破產”.“破產”后，這時即使公司通過向銀行貸款，風險剩余也沒有可能再恢復為正，所以我們稱此時的“破產”為絕對破產.在第四章中，我們首先研究了此模型下的絕對破產概率.此外和前面處理一樣，對于此模型再加上一個常數(shù)邊界分紅策略，我們隨后又討論了Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)，期望折現(xiàn)分紅和最優(yōu)分紅邊界.

12、 在論文的最后，我們考慮最優(yōu)控制問題，最近，對于一個金融公司的最優(yōu)動態(tài)風險控制和紅利分配控制問題在數(shù)理金融中引起了廣泛的關注.一個保險公司可以通過諸如再保險，投資，分派紅利等商業(yè)手段來控制自己的風險，在這部分內容中，我們考慮公司如何通過選擇合適的再保險策略來最小化公司的破產概率. 其中，我們用具有一個常正漂移系數(shù)和常擴散系數(shù)的布朗運動來描述公司將來的流動資產.考慮成數(shù)再保險和超額損失再保險的組合策略，我們證明了最優(yōu)的再保險策略為