高中數(shù)學(xué)論文 圖形計(jì)算器應(yīng)用能力測(cè)試活動(dòng)學(xué)生 淺談卡西歐圖形計(jì)算器在常用函數(shù)圖象上的應(yīng)用

1、<p>　　淺談卡西歐圖形計(jì)算器在常用函數(shù)圖象上的應(yīng)用</p><p>　　摘要：指出形象思維的重要性，給出了高考高頻函數(shù)題圖象定量具體分析的方法，應(yīng)用圖形計(jì)算器在集中復(fù)雜函數(shù)題中靈活運(yùn)用，使復(fù)雜抽象函數(shù)簡單化具體化，方便加深印象，使函數(shù)的學(xué)習(xí)方法更加靈活便捷，學(xué)習(xí)效率大大提高。本文從函數(shù)定義及出發(fā)，將具體常用常見函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)，歸納類比，得出普遍結(jié)論。在已知函數(shù)基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，體會(huì)極坐標(biāo)中圖象

2、的魅力，以及圖像繪制的，簡便性、優(yōu)越性，由以推廣至其他學(xué)科領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：形象思維、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、高斯函數(shù)、極坐標(biāo)系下的曲線、圖像特點(diǎn)</p><p>　　對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科來說，我們?cè)趯W(xué)習(xí)上主要運(yùn)用的是左腦的抽象思維，但從數(shù)學(xué)思維模式呈現(xiàn)出的事實(shí)來看，我們圖形理解能力的形象思維是最早出現(xiàn)的，而它也是數(shù)學(xué)不斷發(fā)展至今的前提，并在數(shù)學(xué)的研究學(xué)習(xí)中騎著舉

3、足輕重的作用?？梢娙绻藗儾痪邆湫蜗笏季S能力，很難會(huì)有較高的抽象思維能力，其發(fā)展也將會(huì)受到限制。正像數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫所言：“只要有可能，數(shù)學(xué)學(xué)者都應(yīng)該盡力把他們正盡力研究的問題從幾何圖形上視覺化?！币虼嗽谟屑夹g(shù)設(shè)備支持下的今天，圖形的精準(zhǔn)繪制給我們帶來了一場(chǎng)深刻的變革——應(yīng)用圖形計(jì)算器解決圖象問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用圖形計(jì)算器速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提學(xué)

4、習(xí)效率 、拓寬我們的認(rèn)知范圍、開拓我們的解題思路，培養(yǎng)我們的想象力和形象思維的理解能力。直觀、準(zhǔn)確、全面地針對(duì)考試中的問題給予完備解答。</p><p>　　那么，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中圖形計(jì)算器有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中生筆者在此予以介紹:</p><p>　　圖形計(jì)算器在指冪對(duì)函數(shù)及其簡單復(fù)合函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　1.指數(shù)函數(shù)的一般形式是y=a^x(a&

5、gt;0且≠1) (x∈R），值域?yàn)椋?, )。a=1時(shí)也可以，此時(shí)值域恒為1。是在定義域上的單調(diào)下凸，連續(xù)函數(shù)。當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)對(duì)于x的負(fù)數(shù)值平坦，對(duì)于x的正數(shù)值迅速攀升。當(dāng)0<a<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)對(duì)于x的負(fù)數(shù)值迅速攀升，對(duì)于x的正數(shù)值平坦，，恒過（0,1）。在x處的切線的斜率等于此處y的值乘上lna。即： 。函數(shù)圖象總是在某一個(gè)方向上無限趨向于X軸。由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點(diǎn)（1，a)可知：在y軸右

6、側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大，相反同理，當(dāng)a>1時(shí)，曲線由左向右逐漸上升，即a>1時(shí)，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，曲線逐漸下降即0<a<1時(shí)，函數(shù)在 R上是減函數(shù)。</p><p>　　2.對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)可表示為x=a^y，函數(shù)y=log(a)x，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）。恒過點(diǎn)（1，0），其中負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)。</p>

7、<p>　　3.反函數(shù)的性質(zhì)：定義域和值域與原函數(shù)互換，圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱即原函數(shù)過（m，n）反函數(shù)過（n,m），原函數(shù)與反函數(shù)具有相同單調(diào)性，具有相同的奇函數(shù)性質(zhì)（只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)偶函數(shù)一般無反函數(shù)，若要求則分段求解）。</p><p>　　例：解決y=a^x與y=x交點(diǎn)問題：一般方法如下，設(shè)A（x，y）在曲線上求導(dǎo)切線斜率為k=a^xlna，解出切線方程令其過原點(diǎn)解得x=1/lna，k=

8、elna，討論當(dāng)k=1即a≈1.4時(shí)相切，當(dāng)a＞1.4時(shí)相離0＜a＜1.4時(shí)相割?？梢杂脠D形計(jì)算器根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖象直觀比較各圖象的形狀和位置，對(duì)偶記憶。應(yīng)用圖形計(jì)算器的“動(dòng)態(tài)圖”功能，更能方便看出圖象隨變量a的變化而反映出其變化趨勢(shì)，對(duì)此提出有關(guān)猜想并繼續(xù)得到證實(shí)，用以全面了解函數(shù)加深對(duì)底數(shù)a的幾何意義認(rèn)了解，更實(shí)在地把握函數(shù)。</p><p>　　指、

9、對(duì)數(shù)的復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u）的定義域?yàn)镈u函數(shù)u=g(x）的定義域?yàn)镈x，值域?yàn)镸x,那么對(duì)于Dx內(nèi)的任意一個(gè)x經(jīng)過u；有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為：y=f[g(x)]。當(dāng)指、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復(fù)合時(shí)：有以f（x）為x底的對(duì)數(shù)、以x為底f（x）的對(duì)數(shù)、以a為底f（x）的指數(shù)等。需要看定義域以及參考復(fù)合函數(shù)增減性關(guān)系（同增異減）或奇偶性原則（內(nèi)奇則奇，內(nèi)偶同外）配合求解或證明，應(yīng)用圖形計(jì)

10、算器推理得到普遍規(guī)律，概念理解易如反掌，做題事半功倍。而當(dāng)求解復(fù)合函數(shù)根的分布時(shí)圖形計(jì)算器體現(xiàn)了極大優(yōu)勢(shì)，變量取值、直觀分析全圖，簡練明快，精準(zhǔn)詳細(xì)。</p><p>　　冪函數(shù)是形如y=x^a(a常為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)。冪函數(shù)具有以下通性：所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖像都過點(diǎn)（1,1）和(0,0）。在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；a>

11、1時(shí)，圖像開口向上；0<a<1時(shí)，圖像開口向右。圖像不過第四象限。在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于(0,0）時(shí)，圖象在y軸上方趨向于(0,0）時(shí)，圖像以y軸為漸近線，當(dāng)x趨于+∞時(shí)，圖象圖像以x軸為漸近線。冪函數(shù)的特殊性：當(dāng)a≤-1且a為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)在第一、第三象限為減函數(shù)；當(dāng)a≤-1且a為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)在第二象限為增函數(shù)；當(dāng)a=0且x不為0時(shí)，函數(shù)圖象平行于x軸且y=1、但不過(0,1)；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)；

12、當(dāng)a≥1且a為奇數(shù)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)當(dāng)a≥1且a為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)。</p><p>　　利用圖形計(jì)算器來分析高斯函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　高斯函數(shù)（y=Intg x)：設(shè)，用[x]表示不超過的最大整數(shù)。則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)。顯然，的定義域是R，值域是離散的Z。任一實(shí)數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負(fù)純小數(shù)之和，即，因此，，這里，為的整數(shù)部分，</p><p>

13、;　　高斯函數(shù)圖象性質(zhì)：每段函數(shù)定義域左閉右開，“階梯”向上不減的無界函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。。類似還有鋸齒狀的而（x-Intg x）用{χ}表示x的非負(fù)純小，數(shù)其定義為的小數(shù)部分。定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集值域?yàn)閇0,1)。周期為1，在每一段圖像（指[n，n+1)n為整數(shù)）上為單調(diào)遞增。并且[{x}]值恒為0。類似y=Intg x還有y=Int x</p><p>　　其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在正實(shí)數(shù)上的圖像與y=Intg x重合，

14、即在x軸負(fù)半軸上兩圖像關(guān)于y=x對(duì)稱。y=Frac x，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱在x軸正半軸上與y=x-Intg x圖像重合，在x軸負(fù)半軸將y=x-Intg x圖像向上平移1個(gè)單位得到的。關(guān)于高斯函數(shù)的復(fù)合函數(shù)：[f（x）]，f（[x]）其圖象在f（x）附近波動(dòng)。</p><p><b>　　極坐標(biāo)系中的曲線</b></p><p>　　極坐標(biāo)系為高考中的選考題目，與平面幾

15、何聯(lián)系非常密切，據(jù)此應(yīng)用圖形計(jì)算器做出圖象更加深印象對(duì)此進(jìn)行直觀深刻的理解。其在平面內(nèi)由極點(diǎn)、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系。可根據(jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ由笛卡爾系轉(zhuǎn)化而來，以下介紹幾種較為經(jīng)典的函數(shù)圖象。</p><p>　　阿基米德螺線，ρ=aθ（a＞0）改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接，互為鏡像?？梢?/p>

16、想象一只小蟲在勻速旋轉(zhuǎn)盤上由中心沿半徑勻速向外爬行則其運(yùn)動(dòng)軌跡為該螺線。</p><p>　　圓錐曲線：橢圓，展示了半正焦弦圓錐曲線方程如下：r=l/(1-e cosθ)其中l(wèi)表示半正焦弦，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。其中e表示離心率，p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。</p><p>　　心形線：ρ=a（1-c

17、osθ）（a＞0，0≤θ≤2π）圖形和心臟的截面輪廓相似，關(guān)于極軸對(duì)稱（3）雙紐線(二葉玫瑰線、伯努利雙紐線)：指動(dòng)點(diǎn)到兩相聚為定長的定距離之積為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡，點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)方程為(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)。極坐標(biāo)方程為ρ^2=a^2(cos2θ)（a＞0）。</p><p>　　以上介紹了比較典型的圖象應(yīng)用，總地來說，圖形計(jì)算器在高中學(xué)習(xí)中有很大用途：在幾何中根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出各種