基于數(shù)學美學的中學數(shù)學案例教學的實踐與研究[畢業(yè)論文]

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　基于數(shù)學美學的中學數(shù)學案例教學的實踐與研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)

2、學與應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：數(shù)學是一種文化，數(shù)學教育是數(shù)學文化的教育.

3、《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》將“體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”作為一個基本理念，提出了對“數(shù)學文化”的學習要求.這充分表明數(shù)學文化已經(jīng)從一種理念走進了中學課堂，滲透到數(shù)學課的實際教學中.</p><p>　　數(shù)學歷來以其高度的抽象性，嚴密的邏輯性被人們所賞識，數(shù)學美更是數(shù)學文化的重要組成部分，高中數(shù)學教材中隱含著大量的數(shù)學美的素材，為教師要有一定的美學修養(yǎng)，善于挖掘教材中的具有審美價值的知識切入點，適時地引導學生領悟數(shù)

4、學美，在課堂教學中受到數(shù)學美的熏陶.</p><p>　　通過數(shù)學文化在數(shù)學課堂中的滲透，可以讓學生在數(shù)學史中領悟數(shù)學文化，形成數(shù)學思維；在數(shù)學應用中感受數(shù)學的宏大氣魄，體會數(shù)學的應用之美；在數(shù)學美學理念的指導下品味數(shù)學美的內(nèi)涵.在數(shù)學課堂濃厚的文化氛圍中，產(chǎn)生文化共鳴，受到文化熏陶，從而實現(xiàn)數(shù)學的文化教育功能.</p><p>　　關鍵詞：數(shù)學美學；中學數(shù)學；案例教學；實踐；研究 <

5、;/p><p>　　The Practice and Reseach of the Case Teaching of the Middle School Based On The Mathematical Aesthetic </p><p>　　Abstract: Mathematics is a culture, while Mathematics education is an Educ

6、ation of Mathematics culture. Mathematics Curriculum Standards of Ordinary Senior Middle School(text for experiment)regards it as one of its original ideas to show the cultural value of Mathematics, and makes a study req

7、uest of Mathematical culture. That shows Mathematical culture has an access to the class of middle schools from a theory and was dipped into practical teaching.</p><p>　　Mathematics has always been its high

8、level of abstraction, the logic of strict appreciated by people .The mathematics beauty is an important part of mathematical culture and a great many materials of mathematics beauty are contained in the textbook of senio

9、r mathematics. As a teacher, we must anyway have some aesthetics attainment, and are good at digging the key points with esthetic value so that we can guide students to comprehend mathematical estheticism and can make st

10、udent to be affected by</p><p>　　By means of seeping mathematical culture in teaching, students can comprehend mathematical culture and shape the thinking of mathematics. Thereby they can affect grand spirit

11、 of mathematics, experience the beauty of applying mathematics and taste the intention of mathematics beauty in guidance of mathematics aesthetics. At the same time, students can get cultural sympathy and have a cultural

12、 influence. As a consequence, the function of cultural education gets achieved.</p><p>　　Key words: Mathematics aesthetics; The middle school mathematics; Case teaching; Practice; Research </p><p&

13、gt;<b>　　目錄</b></p><p><b>　　1緒論2</b></p><p>　　2 數(shù)學美的內(nèi)涵3</p><p>　　2.1 美的概念3</p><p>　　2.2數(shù)學美的概念3</p><p>　　2.3高中數(shù)學教學滲透數(shù)學文化的意義4&

14、lt;/p><p>　　3 高中數(shù)學教學滲透數(shù)學美的實踐5</p><p><b>　　3.1 和諧美5</b></p><p><b>　　3.2 對稱美7</b></p><p>　　3.2.1 結構形式的對稱美8</p><p>　　3.2.2 視覺形式的對

15、稱美9</p><p>　　3.3 奇異美11</p><p>　　3.3.1 從對奇異美的追求突破解題難點11</p><p>　　3.3.2 出奇制勝的奇異美12</p><p>　　3.4 簡潔美14</p><p>　　3.4.1 符號的簡潔美14</p><p>　　3

16、.4.2 復雜問題的簡潔美14</p><p>　　4 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的地位和功能17</p><p>　　4.1 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的地位17</p><p>　　4.2 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的功能17</p><p>　　5　 結束語19</p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。

17、</p><p><b>　　參考文獻20</b></p><p><b>　　1緒論</b></p><p>　　在學習中學數(shù)學過程中，我最深切的感受是如今的中學生越來越怕數(shù)學.他們談“數(shù)”色變，在他們的眼里數(shù)學變成了一堆冷冰冰的數(shù)字和奇怪的符號的組合，中學數(shù)學學習恐怕給他們的只是“枯燥、繁難”的回味了.但數(shù)學又是人們

18、生活勞動和學習不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)，進行計算，推理和證明.它可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；它還為其它學科提供了語言，思想和方法，是一切重大技術發(fā)展的基礎.眾所周知,牛頓力學法則用單純的數(shù)學時表達出來, 按照這個法則以及由他所創(chuàng)造的微積分方法, 能夠求出從地上的潮汐漲落、鐘擺的周期, 直至天體中行星運行的規(guī)律, 這當中包含著一數(shù)學形式體現(xiàn)出來的統(tǒng)一美、簡約美.從此, 在包含物理學在內(nèi)的自然科學領域出現(xiàn)了一種趨勢: 致力于

19、用單純的數(shù)學公式表示自然法則, 求出它的解, 并與實驗、觀測結果相比較去理解現(xiàn)象.數(shù)學如此“枯燥”卻又是這么重要，這就需要我們從新的視角看待在教學中一度被忽視了的數(shù)學本質(zhì)東西----數(shù)學美.</p><p>　　英國數(shù)學家、哲學家懷特海曾指出，數(shù)學是真、善、美的辯證統(tǒng)一.就數(shù)學理論本身而言，它的奇特、微妙、簡潔有力，以及人們在建立數(shù)學理論時所具有的創(chuàng)造性思維，這些都是數(shù)學的美.而數(shù)學美若能在數(shù)學教學過程中得到合理

20、的運用，便會產(chǎn)生不可估量的數(shù)學的審美價值；相反，則不然.正如蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所言：“沒有審美教育就沒有任何教育.”走進新近國家教育制訂的《普通高中數(shù)學課程標準》（以下簡稱《課標》），我們發(fā)現(xiàn)《課標》已明確把數(shù)學的美學價值作為數(shù)學文化一個方面提出，強調(diào)數(shù)學教育必須注意培養(yǎng)學生的科學精神和人文精神，強調(diào)數(shù)學教育必須注意培養(yǎng)學生的科學精神和人文精神，指出“教師應結合有關內(nèi)容有意識地強調(diào)數(shù)學的科學價值、文化價值、美學價值，激發(fā)學生對于數(shù)學

21、創(chuàng)新原動力的認識，受到優(yōu)秀文化的熏陶，領會數(shù)學美學的美學價值，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識”.特別是“數(shù)學與文化”這一單元體現(xiàn)出數(shù)學文化的一個重要功能是美學價值，這鼓舞人們對數(shù)學的追求化為一種對美的追求，是中學數(shù)學教學開展數(shù)學美教育的重要體現(xiàn).從這一方面來講，積極地探索和研究中學數(shù)學美，使之與教學實踐結合起來，不僅有利于對學生的數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，而且還</p><p>　　目前，世界上許多國家和地區(qū)都把培養(yǎng)學生

22、學習的態(tài)度情感與對數(shù)學美欣賞結合起來作為數(shù)學教育的一個目標，以此促進學生運用數(shù)學解決問題的動力和能力.如我國的香港和臺灣地區(qū)都在中學數(shù)學課程目標中提出了要從“美學角度欣賞數(shù)學，培養(yǎng)學生主動積極學習數(shù)學的態(tài)度.”英國的數(shù)學課程目標也提出了“培養(yǎng)學生欣賞數(shù)學本質(zhì)及過程，……,欣賞數(shù)學美及數(shù)學史.”可見，注重從欣賞數(shù)學美的角度培養(yǎng)學生的態(tài)度情感和自信心，作為數(shù)學教育的目標之一，在中學數(shù)學教學的學生學習方面中起著非常重要的作用.</p&g

23、t;<p>　　2 數(shù)學美的內(nèi)涵</p><p>　　現(xiàn)在也許難以找到一個受過教育的人，對于數(shù)學美的魅力全然無動于衷.數(shù)學美可能很難定義，但它確是一種真正的美，和任何其他的美一樣.在理解數(shù)學美的概念之前，我們首先要弄清美的概念.</p><p><b>　　2.1 美的概念</b></p><p>　　關于美的概念，中國美

24、學家、教育家朱光潛(1897～1986) 認為: “美是心借物的形象來表現(xiàn)情趣, 是合規(guī)律性與合目的性的統(tǒng)一”; 著名哲學家李澤厚(1930～) 認為: “美是自由的形式——完好、和諧、鮮明、真與善、規(guī)律性與目的性的統(tǒng)一,這就是美的本質(zhì)和根源.”從中我們可以看出他們有一個共同的核心，那就是美的基本圖式是和諧統(tǒng)一.美既要遵循事物的客觀規(guī)律，又要符合人的愿望需求，并且最終在實踐活動中實現(xiàn)了二者的有機統(tǒng)一，表現(xiàn)出愉悅?cè)说母泄倩蛩枷牖蚓竦玫接?/p>

25、快的滿足.因此，我們認為美，就是合目的性與合規(guī)律性的和諧統(tǒng)一.</p><p>　　美不僅存在于文學、藝術中，存在于大自然以及社會生活之中，而且也存在于自然科學中，存在于數(shù)學之中，后者稱之為科學美.科學美主要指理論類，其內(nèi)涵是指邏輯美、結構美和公式美.科學美與我們熟知的藝術美相對應，是美的兩種類型；而數(shù)學美則屬于科學美.</p><p><b>　　2.2數(shù)學美的概念</b

26、></p><p>　　關于數(shù)學美，徐本順從數(shù)學方法論的角度提出“數(shù)學美是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學思維結構的呈現(xiàn)”；盧鍔則提出“數(shù)學美因說”，他在對數(shù)學美感和數(shù)學美進行分析之后認為，數(shù)學美是一種理性美、智慧美，具有最純凈的思辨特征，在理性的更高層次上顯示了創(chuàng)造的本質(zhì)力量，這就是數(shù)學美的實質(zhì)；而張雄從分析數(shù)學美的根源入手，認為數(shù)學美來源于生產(chǎn)實踐，而生產(chǎn)實踐是合規(guī)律性和合目的性的統(tǒng)一，最后得到數(shù)學美是“

27、數(shù)學創(chuàng)造自由形式”的結論.還有比較通行的籠統(tǒng)說法，數(shù)學美就是“數(shù)學中存在的美”.</p><p>　　綜合上述觀點，結合前面對美的理解，我們認為數(shù)學美就是反映自然界在數(shù)量關系與空間形式上合目的性和合規(guī)律性的和諧統(tǒng)一.它表現(xiàn)出人們在實踐活動中對數(shù)學規(guī)律、內(nèi)涵與結果發(fā)現(xiàn)和理解時產(chǎn)生的愉悅、興奮、情感等強烈的感受.它是科學的本質(zhì)力量的感性與理性的顯現(xiàn)，是發(fā)現(xiàn)真理、反映客觀世界并能動地改造世界的一種科學美.當然，數(shù)學美還

28、涉及到數(shù)學的性質(zhì)，它的范圍是現(xiàn)實世界空間形式與數(shù)量關系.數(shù)學美反映出數(shù)學內(nèi)在理性上的和諧一致與外在形式上的簡單、對稱與統(tǒng)一的美.這里的實踐活動既包括數(shù)學家、科學家所進行的研究活動，也包括數(shù)學教學中教師與學生之間的雙邊活動，后者是本文探討的重點，即數(shù)學美與中學數(shù)學教學.</p><p>　　中學數(shù)學教學中的數(shù)學美是屬于科學美的范疇，與語文課中的藝術美并不盡相同.藝術作品的美首先通過其外部形象作用于人的感官，人們通過

29、形象思維直接地感受到作品的詩情畫意，得到感情上的陶冶和熏陶.而數(shù)學美主要是通過概念、符號、邏輯關系來反映理論內(nèi)在的邏輯美、結構美和方法美.因此，人們要有更多的知識上準備，學生也更需要有教師的啟發(fā)和引導，才能領悟到蘊藏在公式和符合后面的數(shù)學美.</p><p>　　2.3高中數(shù)學教學滲透數(shù)學文化的意義</p><p>　　20世紀初，數(shù)學曾存在脫離社會文化的孤立傾向.數(shù)學的過度形式化使人錯誤

30、地感到數(shù)學只是少數(shù)天才腦子想象出的自由創(chuàng)造物.中國數(shù)學教育界常用“數(shù)學＝邏輯”的觀念，一般人認為數(shù)學僅僅是對科學家、工程師還有金融家才有用的系列技巧.學生們把數(shù)學看作“一堆絕對真理的總集”，或者是“一種符號的游戲”.“數(shù)學＝邏輯”的公式帶來了許多負面影響.正如一位智者所說，一個充滿活力的數(shù)學美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！</p><p>　　當前，我國的數(shù)學課程標準開始強調(diào)過程性課程目標（問題解決、強調(diào)體驗

31、、數(shù)學思考），強化學生的個性發(fā)展改變我國數(shù)學教學以教師為中心的局面.同時關注學生的數(shù)學應用能力，而不是局限于對靜態(tài)知識的記憶和模仿.</p><p>　　新世紀的國際數(shù)學課程都普遍重視數(shù)學課程應具有的數(shù)學文化價值，重視學生人文教育，不僅關注學生的“人文雙基”教育，還關注學生的思想、情感、態(tài)度、價值觀的教育，科學——人文主義的交叉和融合已成為新世紀國際數(shù)學教育發(fā)展的必然趨勢，更全面的展示數(shù)學文化的內(nèi)涵已成為數(shù)學課程

32、改革追求的目標.數(shù)學文化教育一方面用數(shù)學的思想方法培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學能力，同時也關注學生的非智力因素.作為文化的數(shù)學，其教育是塑造健全人格的教育.</p><p>　　我國的實際數(shù)學教學與數(shù)學課程標準中的教學目標有一定的差距，與世界數(shù)學課程也有一定的差距，這就促使我國的數(shù)學教育應該走向重視數(shù)學文化價值的道路，把數(shù)學當成一門真正的文化來傳遞給學生，使我國的數(shù)學教育走向與世界教育相融合的道路.</p>

33、;<p>　　3 高中數(shù)學教學滲透數(shù)學美的實踐</p><p>　　美，作為現(xiàn)實事物和現(xiàn)象、物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品、藝術產(chǎn)品的屬性總和，具有勻稱性、比例性、和諧等，作為精神產(chǎn)品的數(shù)學就具有上述美的特征.而數(shù)學美又是一種特殊的美，有著自身特有的特征，概括起來具有以下四個基本特征：</p><p><b>　　3.1 和諧美</b></p>

34、<p>　　和諧美是指部分與部分、部分與整體之間的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律所呈現(xiàn)出來的和諧一致.在數(shù)學的和諧美方面，其和諧美的主要表現(xiàn)形式是統(tǒng)一、有序、無矛盾以及對稱等等.在美學中所說的整體平衡美、對稱美以及中和美，都是一種和諧美.圓被稱為最美的圖形，因為圓具有最多的統(tǒng)一性和對稱性.下面文獻[3]將對數(shù)學美的另一特性-----和諧性將著重介紹. </p><p>　　數(shù)學美學中的和諧性原則共分為歷史性與時代性

35、相和諧的原則，民族性與世界性相和諧的原則，形象性與情感性相和諧的原則，實踐性與創(chuàng)造性相和諧的原則四個方面.這四個原則看似沒多大聯(lián)系，事實上，它們相互制約，相互影響.車爾尼雪夫斯基曾說“美是理想的生活”.可見沒有生活則沒有美.數(shù)學同樣如此，沒有實踐、沒有創(chuàng)造就沒有數(shù)學，美即生活.</p><p>　　對于和諧性原則，文獻[4]還有補充說明.比如黃金分割又稱黃金率、中外比，最早見于古希臘和古埃及.即把一根線段分為長短

36、不等的a 、b 兩段，使其中長線段的比（即a + b ）等于短線段b 對長線段a 的比，列式即為a ：（a + b ）= b ：a ，其比值為0 .6180339這種比例在造型上比較悅目，因此，0.618 又被稱為黃金分割率.由于它自身的比例能對人的視覺產(chǎn)生適度的刺激，他的長短比例正好符合人的視覺習慣，因此，使人感到悅目.黃金分割被廣泛地應用于建筑、設計、繪畫等各方面.對稱是指一個整體的幾個部分分成幾個整體在構成上的比是1 時，作為和諧

37、的特例，給人以平衡感，從而作為審美對象使人產(chǎn)生對稱美的感覺.畢達哥拉斯學派認為：“一切立體圖形中最美的是圓形”就是他們達到了全對稱的原因.我們通過舉個例子闡述一下和諧美在解題中的運用.</p><p><b>　　例： 求的值.</b></p><p><b>　　解：設</b></p><p><b>　　，&

38、lt;/b></p><p><b>　　從而有</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　所以，即原式=3/4.</p><p>　　美學分析： 凡是美的東西都具有一個共同特征, 這就是部分與部分之間, 部分與整體之間固有的協(xié)調(diào)一致.由題目結構知原式是關于，的對稱

39、式，由此構想補做其對偶式使它們成為和諧的整體.</p><p>　　接下來文獻[5]，[6]則是從另一方面---數(shù)學的抽象美來闡述數(shù)學美學.如盡管三角形形狀千姿百態(tài), 它的面積卻可抽象為一個簡單的公式(其中a 為三角形底邊長, h 為底邊上的高) ; 無論多么復雜的二次曲線, 均可用方程抽象地表示.數(shù)學中不少新的概念, 新的學科, 新的分支的產(chǎn)生, 是通過“抽象分析”得到的.</p><p&g

40、t;　　“社會與自然總是力圖使自己成為一個和諧的整體. ”數(shù)學更是這樣. 和諧美是促使解題成功的重要因素之一. 數(shù)學解題中, 我們可以從條件與結論的和諧,數(shù)、式、形的和諧等方面來探尋解題思路.和諧美的原則能夠幫助我們迅速制訂解題策略和指明解題方向.</p><p><b>　　例 設，，求.</b></p><p>　　解 因為，所以</p>&

41、lt;p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　美學分析： 為了追求條件和結論的和諧統(tǒng)一，使原來輪換對稱的結論更加完美，必須構造出，我們可考慮在結論的三項中分別加上1，來實現(xiàn)整體結構的高度統(tǒng)一，從而獲得解題的思

42、路.</p><p><b>　　例：求不定積分</b></p><p>　　分析 　此題若用常規(guī)方法很難尋找到解題的突破口, 若能退一步來尋找被積函數(shù)的另一半, 利用合后分的處理方法, 就能獲得異常簡潔、巧妙的新奇解法,出現(xiàn)拍案叫絕的景象.</p><p><b>　　解 因為</b></p><

43、;p><b>　　，</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以可得</b></p><p><b>　?。ㄆ渲校?lt;/b></p>&l

44、t;p>　　以上通過例子詳細介紹了數(shù)學的和諧美.下面我們將介紹數(shù)學美的另一特征---對稱美.</p><p><b>　　3.2 對稱美</b></p><p>　　對稱性是指組成事物或?qū)ο蟮膬蓚€部分的對等性.它不僅是指幾何圖形的對稱關系，也指各種數(shù)學概念、公式和定理間的對稱思想.比如比例是指一件事物整體與局部以及局部與局部之間的關系.而我們平時所說的“勻稱”，

45、也就包含了一定的比例關系.古代宋玉所謂“增之一分則太長，減之一分則太短”就是指的比例關系.在數(shù)學上，比例構成為1:1時，稱為對稱.例如，A+B=B+A，AB=BA，C(A+B)= CA+CB 等.其中數(shù)學中的幾何對稱圖形是典型的視覺對稱美.平面幾何中，任意一條直線只要通過圓的中心都能將圓完全等分，即分隔開的面積對稱均等.代數(shù)中，有一元二次方程兩個根的對稱、方程的對稱函數(shù)，甚至還有專門關于對稱性的數(shù)學理論——群論.數(shù)學中的對稱美是數(shù)學對自

46、然本質(zhì)的一種反映，它不僅精致細微，而且奇妙無比.二項式定理的展開式、“楊輝三角”等呈現(xiàn)的都是一種對稱美.在物理學上，正電子的猜想便是狄拉克從數(shù)學對稱美的角度大膽預言出來的.藝術上的對稱美不僅體現(xiàn)了數(shù)學美的精細，也體現(xiàn)自身視覺美的特點.在藝術上，對稱是指以一條線為中軸，左右或上下兩側(cè)均勻等，所產(chǎn)生的視覺對稱.如人體中眼、耳、手、鼻、足等都是對稱的.工藝美術中的二</p><p>　　對稱反映了數(shù)學的形式美，美的形式

47、反映了美的內(nèi)涵.因此不定積分計算中注意挖掘問題中的對稱性，用對稱美的眼光去觀察，就容易找到解題思路.</p><p><b>　　例1: 求不定積分</b></p><p><b>　　解：因為</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>

48、　　，，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　解關于，的方程組，即得</p><p>　　3.2.1 結構形式的對稱美</p

49、><p>　　數(shù)式結構的對稱,必將蘊含著解法(證法) 的對稱. 從而, 具有相同結構特征的數(shù)式具有同等的地位,處理的手法必將相同. 從數(shù)學中的對稱美的角度出發(fā),常能起到優(yōu)化解題思路和簡化解題過程的效果.</p><p>　　例： 已知為互不相等的實數(shù)，且，求證.</p><p><b>　　證明 由等式得</b></p><p

50、><b>　　，</b></p><p><b>　　而，所以，同理有</b></p><p><b>　　，，</b></p><p>　　所以 </p><p>　　美學分析： 問題的條件和結論都具有輪換對稱結構

51、,根據(jù)條件各式地位相同的特點, 可知應將結論中的轉(zhuǎn)化為或進行處理，通過嘗試，轉(zhuǎn)化為更為巧妙.</p><p>　　3.2.2 視覺形式的對稱美</p><p>　　幾何圖形的對稱圖形是典型的視覺對稱美.平面或空間圖形的中心對稱(即點反射)、平面圖形的對稱軸、空間圖形的平面對稱都是這種圖形.而既是中心對稱, 而且所有過對稱中心的直線都是對稱軸的平面圖形是圓, 既是中心對稱而且所有過對稱中心

52、的平面都是對稱平面的立體圖形都是球.畢達哥拉斯學派認為:“一切立體圖形中最美的是球形, 一切最美的平面圖形中最美的是圓形.”這就是球與圓達到了全對稱的緣故.</p><p>　　代數(shù)當中, 數(shù)的加法與乘法通過運算律而形成對稱:</p><p><b>　　， ， ， </b></p><p>　　互逆運算也是一種對稱, 如指數(shù)與對數(shù) ， &

53、lt;/p><p>　　二項式定理的展開式呈現(xiàn)的也是一種對稱:</p><p>　　展開式的系數(shù)當時，列成表便實現(xiàn)了一種幾何對稱</p><p><b>　　1 1</b></p><p><b>　　1 2 1</b></p><p>　　1 3 3 1</

54、p><p>　　1 4 6 4 1</p><p>　　1 5 10 10 5 1</p><p>　　1 6 15 20 15 6 1 </p><p>　　1 7 21 35 35 21 7 1</p><p>　　除1 以外的每個數(shù)都等于自己“肩上”兩個數(shù)之和, 這就是著名的“楊輝三角”.

55、再如:</p><p>　　以上各式呈現(xiàn)出了絕妙的對稱美.</p><p>　　由于數(shù)學的發(fā)展, 對稱性的概念已超出了數(shù)學的范圍并獲得了更加廣泛的意義.一般地說, 這即是指組成某一事物或現(xiàn)象的兩個部分之間的對等性, 對此我們?nèi)匀粡臄?shù)學上去把握和表現(xiàn).在物理學上, 正電子的猜想便是狄拉克從數(shù)學對稱美的角度大膽預言出來的.他唯一的根據(jù)就是從電子運動的方程得出正負兩個解.幾年之后, 這個預言得到

56、了物理學家的證實.狄拉克后來說:“理論物理學家把數(shù)學美的要求當作信仰的行為, 它沒有什么使人非信不可的理由, 但過去已經(jīng)證明了這是有益的目標.”</p><p>　　在達·芬奇的杰作《最后的晚餐》中, 耶穌與十二個門徒共進晚餐, 達·芬奇的構圖使他們?nèi)济嫦蛴^眾、一字排開,坐在正中間的耶穌頭部正好受到中間亮光的襯托, 精心構思的光線效果成為整個畫面的中心, 耶穌的十二個門徒每三人一組對稱地分布

57、在耶穌的兩側(cè).基督本人被畫成一個等邊三角形, 這樣的描繪目的在于表達基督的情感和思考, 并且身體處于一種平衡狀態(tài).畫面把人物的情感、形態(tài)和心理準確的融為一體, 不僅表現(xiàn)了每個門徒的神態(tài)差異, 而且十分集中地表現(xiàn)了耶穌身上的美和善與叛徒身上丑和惡的沖突、對比.</p><p>　　通過上述對對稱美的兩種介紹，相信大家對數(shù)學的對稱美有了進一步的了解.當然數(shù)學的美不僅只體現(xiàn)在對稱上，還有奇異美和簡潔美.</p&g

58、t;<p><b>　　3.3 奇異美</b></p><p>　　奇異美是指數(shù)學中原有的習慣法則和統(tǒng)一格局被新的事物所突破，或出乎意料、超乎想象的結果所帶來的新穎和奇特，它是數(shù)學美的重要特征,主要表現(xiàn)在數(shù)學的方法、數(shù)學的結構、數(shù)學的變換等許多方面,它是數(shù)學發(fā)展中的重要美學因素,在教學中教師揭示奇異美,可以采用多方聯(lián)想、歸納類比、聯(lián)結試驗等方法去發(fā)現(xiàn)新問題.奇異中蘊含著奧妙與

59、魅力, 同時也隱藏著真理與規(guī)律.數(shù)學中有許多變異現(xiàn)象, 它往往與人們預期的結果相反, 給了人們的機遇和探索的動力,如代數(shù)方程的求根問題:代數(shù)基本定理：復數(shù)域上的n次方程</p><p>　　的復數(shù)范圍內(nèi)至少有一個根.</p><p>　　例： 設a，b，c為非負實數(shù)，求證：</p><p><b>　　證： 設</b></p>&

60、lt;p><b>　　，，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><

61、p>　　3.3.1 從對奇異美的追求突破解題難點</p><p>　　培根說得好：美在于獨特而令人驚奇.奇異與和諧是對立統(tǒng)一的.數(shù)學中出人意料的反例和巧妙的解題方法都令人叫絕，表現(xiàn)出的奇異美，閃爍著智慧的光芒.</p><p><b>　　例：求不定積分</b></p><p><b>　　解：原式=</b><

62、/p><p><b>　　=</b></p><p>　　3.3.2 出奇制勝的奇異美</p><p>　　在解決某些數(shù)學問題時, 別出心裁的奇思妙想會讓你拍案驚奇, 這就構成了數(shù)學解題的奇異性,它是數(shù)學解題的魅力所在. 所以, 抓住某些數(shù)學問題的個性特征, 尋找它與其他知識的聯(lián)系, 往往能--找到出人意料的新奇解法, 而這常常是創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能

63、力的起點.</p><p>　　例如，數(shù)學史上著名的蒲豐投針試驗就是典型的反映數(shù)學美的奇異性的生動實例.1777年的一天，蒲豐突發(fā)奇想，邀請賓明到家里，做一個令人奇怪的試驗.他把畫有一條條等距離平行線的間距一半的小針，請客人們把這些針一根一根地隨意扔到紙上.他自己則在一旁專注觀察并記錄下投針的總次數(shù)：共2212次，其中與任一平行線相交的有704次，隨后蒲豐又做了個簡單除法2212除以704得3.142，然后當即宣

64、布：“這就是圓周率的近似值.”他又說：“不信，還可再試.”蒲豐別開生面用投針求解圓周率的值，這一數(shù)學方法新穎、奇妙而讓人叫絕，且開創(chuàng)了用偶然性方法去作確定性計算的先河，充分顯示了數(shù)學方法的奇異美，至今仍給人留下美的回味.其實在現(xiàn)實中，這種展現(xiàn)奇異美的例子很多，如：</p><p><b>　　例: 求的值.</b></p><p>　　分析 此題若能將各三角形余

65、弦視為復數(shù)的實部，的系數(shù)視為復數(shù)的指數(shù)，把具有等差關系角的余弦和問題轉(zhuǎn)化為復數(shù)問題，把角的倍數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復數(shù)的指數(shù)問題進行計算，就能獲得新奇的解法，收到意想不到的效果.</p><p><b>　　解 設</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　而</b><

66、;/p><p><b>　　所以原式=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　例：已知ABCD是內(nèi)接與圓O的四邊形.求證：</p><p>　　分析：當學生獲得本題的幾何證法時，開始回味幾何方法難在何處？作輔助性太神了.有沒有避開做輔助線之新路線？于是產(chǎn)生了代數(shù)證法的思想.

67、我們先將命題代數(shù)化“記</p><p><b>　　即證得</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　由角DAB和角BCD互補特點，則</p><p><b>　　，</b></p><p>　　進而聯(lián)想到三角余弦定理</

68、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　解得</b></p><p><b>　　，</b></p&g

69、t;<p><b>　　故</b></p><p><b>　　即.</b></p><p>　　這種代數(shù)證法中，不作一條輔助線，可謂奇思妙想.在這種奇異過程中，對學生的創(chuàng)新思維的培養(yǎng)是很有啟發(fā)的.</p><p>　　數(shù)學美隱藏在數(shù)學課程教材中，要在數(shù)學教學中體現(xiàn)出它的思想價值，需要教師有意識、有目的地挖掘

70、、整理蘊含于其中的數(shù)學美知識，師生一起作為審美主體對各種形式的數(shù)學美進行賞析并做出恰當?shù)膶徝涝u價，引導學生學會鑒賞數(shù)學美、創(chuàng)造數(shù)學美，這是現(xiàn)代教育提出的新的課題，中學數(shù)學教學完全有能力充分利用現(xiàn)有條件，加強學習，積極利用數(shù)學美進行教學改革試驗，努力培養(yǎng)學生的綜合素質(zhì).</p><p><b>　　3.4 簡潔美</b></p><p>　　簡潔性亦稱簡約性，是數(shù)學美的

71、基本特征之一，反映的是數(shù)學外在形式的簡潔美.數(shù)學美的簡潔性美感是優(yōu)化解題思路的內(nèi)驅(qū)力因素之一，簡潔美不僅揭示了數(shù)學理論的高度抽象性，而且理應包含數(shù)學解題思維方式的敏捷性.對一道題目，如果總是受到簡潔性美感的支配，盡可能地從各個方面選擇新的信息，并有效地與已知信息組合、編碼，就會獲得最佳的解題方案.</p><p><b>　　例：求不定積分</b></p><p>&

72、lt;b>　　解：原式=</b></p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　3.4.1 符號的簡潔美</p><p>　　簡明本身就是一種美, 而數(shù)學的首要特點就在于它的簡明.我國古人用小木棍表示10 以內(nèi)的數(shù), 用繩結表示

73、10??, 但更大的數(shù)就難以表示.我們現(xiàn)在使用的阿拉伯數(shù)字, 是人們在使用過程中不斷改進、簡化而來的, 因其簡捷, 便于計算而傳遍整個世界, 成為通用的記數(shù)符號.再如我們用P表示冗長的圓周率, 用i 表示虛數(shù)單位- 1, 用2 表示1. 41??.這個無理數(shù), 我們還可以用某種簡單的符號表示復雜的運算如：</p><p><b>　　.</b></p><p>　　3

74、.4.2 復雜問題的簡潔美</p><p>　　例1： (一道相遇問題) 姐妹倆人分別從相距60公里的A、B 兩地相向而行, 姐姐帶一只家犬, 出發(fā)時跑向妹妹, 遇到妹妹立即返回跑向姐姐??如此反復, 直至姐妹倆人相遇, 問小狗共跑了多少路程?其中姐姐的速度為每小時6 公里, 妹妹的速度為每小時4 公里, 小狗的速度為每小時7 公里.</p><p>　　美學分析: 本題小狗跑的路程來來回

75、回很復雜, 若把小狗來來回回跑的路程相加、計算起來難度太大, 似乎無法計算.如果跳出復雜的過程, 注意到小狗所用的時間應是兩人相遇的時間, 則令人茅塞頓開.解: 兩人相遇所需的時間為60÷ (6+ 4) = 6 (小時)小狗距的路程為: 6×7= 42 (公里).</p><p>　　從這里可以很明顯地感覺到可以用數(shù)學把復雜問題簡單化，這就是復雜問題的簡潔美.再如：</p>&l

76、t;p>　　例2：若函數(shù)有則恒等式</p><p><b>　　必成立.</b></p><p><b>　　證明： 由</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　可得</b></p><p>

77、;<b>　　，</b></p><p>　　所以，原恒等式成立.</p><p>　　美學分析：待證恒等式的兩端表現(xiàn)出來的差異僅是b 與d 的位置不同,若將左端的b 和d 對調(diào),便是右端. 所以, 可知此式與b、d 的位置無關, 結合條件,用整體的思想可獲得簡潔的解法.</p><p>　　例：已知方程有兩個相等的實數(shù)根.求證：.</p

78、><p>　　美學分析：這類題一般是用判別式證，但運算量較大.經(jīng)過考察可發(fā)現(xiàn)方程字母系數(shù)、常數(shù)比較規(guī)則，且其和為零，從而得知方程必有一根為1，于是出韋達定理，得</p><p><b>　　，即</b></p><p>　　這種證法抓住了問題的要害，達到了“一語道破天機”的境地.證題過程明快、流暢，言簡意賅，給人一種美的享受.</p>

79、<p>　　在數(shù)學中, 一個復雜問題的簡單解法, 一個對稱的式子,一個優(yōu)美的圖形, 一個和諧的結構, 一個奇異的念頭, 都會使你沉浸在數(shù)學美的海洋中, 當你從多角度、多層次、多方位來審視數(shù)學問題時, 你會因數(shù)學世界的簡潔、對稱、和諧和奇異而贊嘆不已;你會因數(shù)學的如此之美而如飲醇珍美酒; 你也會因此而陶醉在數(shù)學美之中.數(shù)學美常表現(xiàn)為符號、解法的簡潔美, 數(shù)式、結構的對稱美, 條件與結論、數(shù)、式、形的和諧美, 形式、解法的奇異美

80、. 數(shù)學美在發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想和欣賞解法中有著重要的作用. 然而, 數(shù)學美同樣也起到蘊涵解題思路, 啟迪解題靈感的作用.</p><p>　　4 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的地位和功能</p><p>　　4.1 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的地位</p><p>　　經(jīng)過前面對數(shù)學美的基本特征以及其層次劃分的認識，我們從理性上領略了中學數(shù)學中所蘊含的豐富的數(shù)學美的內(nèi)容

81、，若能合理地在教學中對數(shù)學美的內(nèi)容進行挖掘和利用，勢必對我們當前的中學數(shù)學教學改革起到積極地促進作用.特別是，在從應試教育向素質(zhì)教育的轉(zhuǎn)型過程中，從學生的學習和教師的教學兩方面來探討數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的意義顯得尤為重要.在新的課程觀念下，將欣賞數(shù)學美與培養(yǎng)學生學習的態(tài)度情感、信心結合起來引入到中學數(shù)學課堂中，無疑將會對現(xiàn)今的數(shù)學教學中所占的重要地位，是由數(shù)學美在中學數(shù)學教學中具有的功能所決定和體現(xiàn)的.</p><

82、p>　　4.2 數(shù)學美在中學數(shù)學教學中的功能</p><p>　　下面文獻[12]將對國內(nèi)近20年來有關數(shù)學美的研究進行了文學述評，闡述了數(shù)學美的內(nèi)涵與特征.</p><p>　　在新的觀念影響下,一方面在義務教育階段將數(shù)學美的欣賞與培養(yǎng)學生學習的情感態(tài)度、自信心結合起來引入到數(shù)學教學中,作為數(shù)學教育的目標之一;另一方面在高中階段,又明確把數(shù)學的美學價值學習作為數(shù)學文化的理念,這都顯

83、示出數(shù)學美在數(shù)學教育中占的重要地位.而這一表象歸根結底是由數(shù)學美在數(shù)學教育中具有的教育功能所決定和體現(xiàn)的.以下筆者將從審美觀、思維觀、精神觀3個層面來論述和諧美在數(shù)學教育中分別具有的審美功能、方法功能和文化功能,而這3項功能之間除各自有特點外,又彼此相互關聯(lián),共同建構數(shù)學美在數(shù)學教育中所具有整體的教育功能.</p><p>　　1 審美功能 數(shù)學美在數(shù)學教育中的審美功能所具體體現(xiàn)的是數(shù)學教學審美觀,這是在結

84、合教學過程的特點與數(shù)學學科的性質(zhì)的基礎上形成的,還包括以下2層含義: ①除了數(shù)學教學內(nèi)容本身固有的數(shù)學美的因素外,數(shù)學教育的對象是活潑可愛的學生,對他們的教育包含著審美情感; ②數(shù)學教學還是一門藝術,教學過程必然表現(xiàn)著審美特征并要求遵循美學規(guī)律,在數(shù)學學習過程中,數(shù)學美感的激發(fā)將促使學生積極主動地思維和建立良好的數(shù)學認知結構.</p><p>　　2 方法功能 數(shù)學美的方法功能所體現(xiàn)的是數(shù)學美的思維觀,起

85、著促進學生思維發(fā)展的作用,還表現(xiàn)在兩個方面:第一,數(shù)學美感常常為邏輯思維的發(fā)展提供動力和方向;第二,數(shù)學美感對學生思維品質(zhì)的訓練有潛在影響,經(jīng)常引導學生體驗數(shù)學美的統(tǒng)一性,可以使他們學會歸納、整理學過的知識,及時形成有機統(tǒng)一的知識體系,以提高他們思維的組織和綜合運用知識的能力,引導學生經(jīng)常欣賞數(shù)學美的奇異性,也有利于培養(yǎng)他們思維的創(chuàng)造性.</p><p>　　3 文化功能 在文化層面上,數(shù)學美的統(tǒng)一是指數(shù)

86、學美的內(nèi)在精神上的高度統(tǒng)一,簡潔是這一精神實質(zhì)的外在的表現(xiàn).就數(shù)學美研究而言,數(shù)學美不應停留在數(shù)學問題所揭示的對稱美、簡潔美、奇異美、和諧美等現(xiàn)象的描述層次上,而應對數(shù)學內(nèi)在美的精神實質(zhì)深入研究.對數(shù)學教學而言,應通過數(shù)學教學過程展示數(shù)學美,使學生對數(shù)學美的感受和欣賞能提高到對數(shù)學美的文化的繼承上,達到激發(fā)熱愛生活,豐富想象,愉悅情調(diào),涵養(yǎng)道德文化的目的.從文化的角度來看,數(shù)學美是人類一種理性精神上的審美心智活動,在更高層次和更豐富的內(nèi)

87、涵上發(fā)展了美的文化.數(shù)學美的無限生命力,是源于高度地、共軛地發(fā)展著數(shù)學的抽象性和數(shù)學的統(tǒng)一性,使數(shù)學成為整個科學技術的基礎和人類文明的標志.作為數(shù)學教師,應該從更高的觀點和更深的層次不斷提高數(shù)學美的文化素養(yǎng).領會數(shù)學的真諦,用自身的真、善、美去藝術地實踐數(shù)學美的文化的基本理念,還數(shù)學真理給學生.</p><p>　　科學的發(fā)展要求人們要跨學科、跨領域進行科學研究.數(shù)學是一門自然科學, 美學屬于社會科學,文獻[13

88、],[14]，[15]主要從美學的視角研究數(shù)學, 著重論述了數(shù)學美的二大特性: 簡明、新奇, 進而說明自然科學與社會科學是緊密相聯(lián), 不可分割的兩大科學體系.</p><p><b>　　5　 結束語</b></p><p>　　本論文主要論述了數(shù)學美學在中學數(shù)學教學中的作用，并對數(shù)學美的一些重點、難點給出了相應的例子.本論文研究的重點是數(shù)學美學的四個方面：簡潔美

89、，奇異美，對稱美和和諧美.研究數(shù)學美學時，應當針對具體問題，靈活選用方法，正因為數(shù)學美學的常用定義和研究方法是多種多樣的，所以在研究時往往根據(jù)數(shù)學美學自身的特點選擇特定的方法進行研究，而不局限于某一種方法，而是多種方法結合求之.</p><p>　　本論文主要是尋找各種相關的信息，并查閱各種相關文獻，對各文獻進行歸納總結，提取各文獻中關于數(shù)學美學的相關內(nèi)容，系統(tǒng)的進行總結.</p><p>

90、;　　學習中多練習，多總結，才能更好的掌握數(shù)學美學的相關內(nèi)容.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　馬兆平. 淺談數(shù)學的美學意義[J]. 甘肅廣播電視大學學報,2003,(3):48-50.</p><p>　　吳振奎,吳昊. 數(shù)學中的美[M ]. 上海:上海教育出版社, 2002，1.</p>&l

91、t;p>　　顧瑜. 數(shù)學美初探[J]. 科技咨詢導報,2007,(10):183.</p><p>　　何寅基. 數(shù)學美學中的和諧性原則[J]. 淮南師專學報,1999,(3):45-46.</p><p>　　Bavelas J B, Black A, Bryson L,Mullett J. Political Equivocation: A Situational Exp lan

92、ation [ J ]. Journal of Language and SocialPsychology, 1988 ,(07) :92-93.</p><p>　　Bull P E. Equivocation Theory and News Interviews[ J ]. Journal ofLanguage and Social Psychology, 1998, (17):154-156</p&g

93、t;<p>　　韓先龍. 審美功能在數(shù)學教學中的應用[j]. 河北能源職業(yè)技術學院學報，2007，（4）：77-78.</p><p>　　朱永廠. 例談數(shù)學美在數(shù)學解題中的導向功能[J]. 數(shù)學通報,2005,(2):39-40.</p><p>　　譚維奇. 數(shù)學的美學特征[J]. 安慶師范學院學報,2005, (4): 123-124.</p><p

94、>　　張國富. 論數(shù)學與美學[J]. 承德民族師專學報,2005,(2):17-18.</p><p>　　趙博. 論數(shù)學美及其教育功能[J]. 重慶工學院學報,2005,(10):158-159.</p><p>　　曹麗芳. 淺談數(shù)學中的美[J]. 安徽教育學院學報,2005,(3):49-50.</p><p>　　周瑪莉, 付柳林, 葉正道. 數(shù)學的審