投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價的蒙特卡羅方法研究

1、<p>　　投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價的蒙特卡羅方法研究</p><p>　　【摘要】文章主要在投資賬戶價值服從幾何布朗運動、利率為常數(shù)、沒有交易費用及市場無套利假定條件下，研究投資聯(lián)結(jié)型保單定價的蒙特卡羅方法。首先說明在給定生命表條件下，此類保單實際是一系列特殊的歐式期權(quán)組合，其次給出期權(quán)價格的表達形式，隨后給出運用蒙特卡羅模擬方法求數(shù)值解具體步驟?？蓳?jù)此編寫程序，用于實例計算。這為未來更深入的研究提供了

2、基礎(chǔ)。 </p><p>　　【關(guān)鍵詞】投資聯(lián)結(jié)型 人壽保險 常數(shù)利率 蒙特卡羅 </p><p><b>　　一、引言 </b></p><p>　　隨著經(jīng)濟的發(fā)展，我國的保險市場也取得了巨大的成就，保險產(chǎn)品的合理定價對于保險市場的進一步發(fā)展有著尤為重要的意義。在此，我們以投資聯(lián)結(jié)型人壽保單為例，對其定價進行研究。由于保單價值依賴于投資賬戶的

3、價值，且保險實際上是一種期權(quán)，故在本文中，我們基于期權(quán)定價理論和蒙特卡羅模擬方法來研究此種保險產(chǎn)品的定價問題。通過對投資賬戶價值建模，在此基礎(chǔ)上模擬出其價值路徑，就可計算出不同路徑下不同到期日的期權(quán)在初始時刻的價值，然后查生命表獲得被保險人活到某時期的概率，以此求得期權(quán)價值的加權(quán)平均值，便得其公平保費。最后加上保險公司要求的利潤，就得到躉繳保費額。 </p><p><b>　　二、模型 </b&

4、gt;</p><p><b>　?。ㄒ唬┣疤峒僭O(shè) </b></p><p>　?。?）連續(xù)復(fù)利計息。設(shè)短期利率為常數(shù)r。投資賬戶在t時刻的價值記為St，且它服從幾何布朗運動：dSt=μStdt+σStdwt；其中，μ、σ分別為投資賬戶的期望收益率和波動率，且為正常數(shù)，通過歷史數(shù)據(jù)計算出；Wt為一個標準布朗運動，是投資賬戶價值的波動來源。 </p>&l

5、t;p>　?。?）給定生命表以及被保險人的年齡，記投保時為時刻0，則可通過查生命表獲得該被保險人在投保后的第m年死亡（即他在m-1年末仍活著，而m年末死亡）的概率為Pm，且與St相互獨立。 </p><p>　?。?）記保單期限為T。若被保險人在投保后，在某一年意外身亡，則保險公司在該年末進行賠付，賠付額為此時投資賬戶的價值。若保單到期時，被保險人仍然健在，則不進行賠付。即在m年末的賠付為 </p&g

6、t;<p>　　fm=Sm，若投保人在該年度死亡（概率為Pm）0，若投保人不在該年度死亡（概率為1-Pm） </p><p>　?。?）保險公司要求的利潤率為θ。市場是完備的。 </p><p><b>　?。ǘ┣蠼?</b></p><p>　　首先，我們說明，此種投資聯(lián)結(jié)型人壽保單可視為一系列到期日不同的歐式期權(quán)的某種組合。

7、我們先看如下更簡單的保單，它規(guī)定如果被保險人在投保后的第m年死亡，則保險公司賠付金額Sm，否則不進行賠付。顯然，這是一個特殊的歐式期權(quán)（說特殊，是因為它的執(zhí)行有條件，即/被保險人在第m年死亡0；且其執(zhí)行價格為0，這使得B-S公式無效）。通過模擬，我們可以獲得該期權(quán)在投保時的價值Vm。又由于Pm已知，因此，該保單可視為Pm份到期日為m（其中，m=1， 2， 3，，T）的上述期權(quán)的組合，從而，對各Vm以Pm做加權(quán)平均，即可得該保單的公平保費

8、。其次，期權(quán)價格是到期日償付的貼現(xiàn)值的期望，且一般是在風(fēng)險中性測度2下計算的。此測度通過如下變換可以得到：記真實測度為P，并以%P記一個新的概率測度。定義二者的Radon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為 =pt-exp[- λdwt- λ2ds]=exp[-λdwt- λ2t]；并定義wt=wt+λt，其中，λ=（μ-γ/σ），為投資賬戶價值的風(fēng)險溢價。從而在測度%P下wt為布朗運動，而St滿足dSt=μstdt+σStdwt，即在此測度下，投資

9、賬戶的期望收益率等于無風(fēng)險利率，從而p</p><p>　?。?）保險期限通常為整數(shù)個年度，記為T。以一年為一個區(qū)間，將保險期限離散化。 </p><p>　?。?）模擬St的路徑。由St在%P下服從漂移率為r的幾何布朗運動，根據(jù)隨機微分方程的理論，可得：St=exp[rt- σ2t+σwt]。 </p><p>　　故在節(jié)點m（m=1，2，，，T）有：Sm=Sm-

10、1exp[r- σ2+σ（wt-wt-1）]；其中（wt-wt-1）為測度%P下，%wt 在區(qū)間[m-1，m]的變化，可知它服從均值為0、方差為1的正態(tài)分布，故文獻[1]可知，可通過生成相互獨立的T個標準正態(tài)分布隨機數(shù)來模擬此序列。從而給定投資賬戶的初始價值S0后，可通過上述遞推關(guān)系，生成St的路徑。 </p><p>　?。?）依照生成的St的路徑，以及假設(shè)4中fm的表達式，我們可得在該路徑下，到期日依次為1、

11、2、，、T的上述類型期權(quán)在初始時刻的價值。 </p><p>　?。?）重復(fù)上述三個步驟，我們模擬M次（M為一個正整數(shù)），則我們可獲得M組到期日依次為1、2、…、T的期權(quán)的初始價值。求其期望，便可得上述期權(quán)的初始價值Vm（m=1，2，，，T）的一個數(shù)值解。再以概率pm做加權(quán)平均，即求V=ETm=1vmpm，便得到保單的公平保費V。最后，將V乘以（1+θ），即得其定價。 </p><p>　

12、　依照此步驟，可以編寫相應(yīng)的程序，用于現(xiàn)實計算。 </p><p><b>　　三、結(jié)語 </b></p><p>　　本文中，我們在一系列假定條件下，研究了應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法對投資聯(lián)結(jié)型人壽保單定價的問題，我們首先說明了此類保單實質(zhì)上是一系列特殊歐式期權(quán)的組合，然后展示了應(yīng)用蒙特卡羅方法求其數(shù)值解的步驟。 </p><p>　　需要說明的是

13、，在研究中，我們做出了許多假定，以突出我們想重點表達的思想。這樣的處理，無疑會導(dǎo)致一定的誤差。在未來的進一步研究中，可以考慮對假定條件的如下放松。首先，可以假定利率也為一個隨機過程；其次，可以加入交易成本；此外，還可以考慮參數(shù)和也為隨機過程的更真實的情形。希望本文為未來的進一步研究奠定了一個基本框架。 </p><p><b>　　參考文獻： </b></p><p>