2016年競賽與自主招生專題第十五講解析幾何一

1、<p>　　2016 年競賽與自主招生專題第十五講 解析幾何一</p><p>　　從2015年開始自主招生考試時間推后到高考后，政策剛出時，很多人認為，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意義。自主招生考察了這么多年，使用的題目的難度其實已經(jīng)很穩(wěn)定，這個題目只有出到高考以上，競賽以下，才能在這么多省份間拉開差距.</p><p>　　所以，筆試

2、難度基本穩(wěn)定，維持原自主招生難度，原來自主招生的真題競賽真題等，具有參考價值。</p><p>　　在近年自主招生試題中，解析幾何是高中數(shù)學內(nèi)容的一個重要組成部分，也是高考與自主招生常見新穎題的板塊，各種解題方法在解析幾何這里得到了充分的展示，尤其是平面向量與解析幾何的融合，提高了綜合性，形成了題目多變、解法靈活的特色。</p><p><b>　　一、知識精講</b>

3、;</p><p>　　點到直線的距離 ：(點,直線：).</p><p><b>　　2.圓的四種方程</b></p><p>　?。?）圓的標準方程 .</p><p>　　（2）圓的一般方程 (＞0).</p><p>　?。?）圓的參數(shù)方程 .</p><p>　　

4、（4）圓的直徑式方程 </p><p>　　(圓的直徑的端點是、).</p><p>　　3.點與圓的位置關(guān)系</p><p>　　點與圓的位置關(guān)系有三種若，則</p><p>　　點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).</p><p>　　4.直線與圓的位置關(guān)系</p><p>　　直線與圓的位置關(guān)系

5、有三種:</p><p><b>　　①;</b></p><p><b>　?、?</b></p><p><b>　　③.</b></p><p><b>　　其中.</b></p><p>　　5.橢圓的參數(shù)方程是.</

6、p><p>　　6.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系</p><p>　　(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.</p><p>　　(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.</p><p>　　(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在軸上，，</p><p><b>　　焦點在軸上）.</b></p

7、><p>　　7.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p><b>　　三角形四心的坐標</b></p><p>　　設(shè)三邊的長度分別為a,b,c，三個頂點A、B、C的坐標分別記為、、，則重心G、內(nèi)心I、垂心H、外心O坐標分別為、、、。</p>

8、<p><b>　　直線系</b></p><p>　　若直線與直線相交于P，則它們的線性組合（，且不全為0）（*）表示過P點的直線系。當參數(shù)為一組確定的值時，（*）表示一條過P點的直線。特別的，當時，（*）式即；當時，（*）式即為。對于以外的直線，我們往往只在（*）式中保留一個參數(shù)，而使另一個為1.</p><p>　　又若與平行，這時（*）式表示所有與

9、平行的直線。</p><p>　　3.圓冪定理：過一定點作兩條直線與圓相交，則定點到每條直線與圓的交點的兩條線段的積相等，即它們的積為定值.</p><p>　　?備注：切線可以看作割線的特殊情形，切點看作是兩個重合的交點.若定點到圓心的距離為，圓半徑為，則這個定值為.</p><p>　　①當定點在圓內(nèi)時，，等于過定點的最小弦的一半的平方；</p>

10、<p>　?、诋敹c在圓上時，；</p><p>　　③當定點在圓外時，，等于從定點向圓所引切線長的平方.</p><p>　　特別地，我們把稱為定點對于圓的冪.</p><p>　　4.兩圓的“根軸”：到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共弦所在直線．這條直線稱為兩圓的“根軸”．</p>

11、<p>　　?對于根軸我們有如下結(jié)論：三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．</p><p><b>　　5.各曲線的定義：</b></p><p><b>　　（1）橢圓：；</b></p>

12、;<p><b>　?。?）雙曲線：；</b></p><p><b>　?。?）拋物線：．</b></p><p>　　6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面上，到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為一個常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）．</p><p>　　當時，曲線是橢圓；當時，曲線是雙曲線

13、；當時，曲線是拋物線．這個定點叫做曲線的焦點，定直線叫做曲線的準線，定點到定直線的距離叫做焦參數(shù)．</p><p>　　7.圓錐曲線的標準方程：</p><p><b>　?。?）橢圓：，；</b></p><p>　　（2）雙曲線：，（）；</p><p>　?。?）拋物線：，，，（）．</p><

14、p>　　?備注：比值叫圓錐曲線的離心率，其中。</p><p><b>　　典例精講</b></p><p>　　例1．（2011復旦）橢圓上的點到圓上的點的距離的最大值是（ ）。</p><p>　?。ˋ）11 （B） （C） （D）</p><p&g

15、t;　　?分析與解答：由平面幾何知識，橢圓上的點到圓上的點的距離最大值=橢圓上的動點到圓心的最大距離+圓的半徑。設(shè)圓圓心為，是橢圓上的點，則</p><p>　?。ó敃r取等號）。故所求距離最大值為11.</p><p>　　?注：或者考慮與的相交情況，用判別式法解決。</p><p>　　例2．（2012“卓越聯(lián)盟”）拋物線，為拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中

16、垂線交軸于，，。</p><p>　　證明：是的等差中項；</p><p>　　若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線的方程。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　（1）設(shè)，由拋物線定義知。</p><p><b>　　又

17、中垂線交軸于，故</b></p><p><b>　　，因為，所以，，故</b></p><p><b>　　，是的等差中項。</b></p><p>　　因為，所以。設(shè)，。圓心。設(shè)直線的方程為。由于弦長為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。</p><p><b&

18、gt;　　。</b></p><p>　　令，即時，為定值，故這樣的直線的方程為。</p><p>　　例3．（2006復旦）已知拋物線，直線都過點且互相垂直。若拋物線與直線中至少有一條相交，求實數(shù)的取值范圍。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　先看的情形，如圖13-8，

19、顯然，無論在拋物線形內(nèi)，還是在形外。與始終至少有一條相交，故符合題意。</p><p>　　若，過作拋物線的切線，設(shè)這兩條切線的張角為。若，則我們總可以找出兩條互相垂直的直線，使這兩條直線與不相交，（如圖13-9）；若，則過的兩條直線中，必有一條與相交（如圖13-10）。</p><p>　　圖13-8 圖13-9

20、 圖13-10</p><p>　　于是，原問題轉(zhuǎn)化為如下一個問題：過作拋物線的切線，這兩條切線對拋物線的張角。</p><p>　　設(shè)過的切線方程為，由，知。</p><p>　　令。設(shè)方程兩根為，則。由韋達定理，，故。</p><p>　　綜上，的取值范圍是。</p><p>　　例4．設(shè)，常數(shù)，定義

21、運算“”：，定義運算“”： ；對于兩點、，定義.</p><p>　　(1)若，求動點的軌跡；</p><p>　　(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點，若，試求的值；</p><p>　　(3)在(2)中條件下，若直線不過原點且與軸交于點S，與軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求的取值范圍。</p><p>　　?分

22、析與解答：(1)設(shè)</p><p><b>　　則 </b></p><p><b>　　又由≥0可得</b></p><p>　　P(,)的軌跡方程為，軌跡C為頂點在原點，焦點為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分 </p><p>　　(2) 由已知可得

23、 , 整理得,</p><p>　　由 ,得．∵，∴ </p><p><b>　　∴</b></p><p>　　, </p><p>　　解得或(舍) ； </p><p><b>　　(3)∵</b></p><

24、p><b>　　∴</b></p><p>　　設(shè)直線,依題意,，則,分別過P、Q作PP1⊥y軸，QQ1⊥y軸，垂足分別為P1、Q1，則．</p><p><b>　　由消去y得</b></p><p><b>　　∴≥</b></p><p><b>　?。?/p>

25、 </b></p><p>　　∵、取不相等的正數(shù)，∴取等的條件不成立</p><p>　　∴的取值范圍是（2，+）． </p><p>　　例5．（2011“華約”）拋物線的焦點為，弦過，原點為，拋物線準線與軸交于點，，求。</p><p><b>　　?分析與解答：</b&g

26、t;</p><p>　　解法一：設(shè)，分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為，依拋物線定義知，所以，所以</p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　同理，，所以。</b></p><p>　　解法二：AB：代入拋物線中，，，所以</p><p><

27、;b>　　。所以又</b></p><p><b>　　，所以。</b></p><p>　　例6．（2012“北約”）已知點，若點C是圓上的動點，求面積的最小值。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　　圓的方程。設(shè)到AB：的距離為d，則</

28、p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　因為。所以，所以</b></p><p>　　。當C點的坐標取時，的面積有最小值。</p><p>　　例7.（2010五校聯(lián)考）如圖，在上，</p><p>　　關(guān)于拋物線對稱軸對稱。過點作切線，切線，</p

29、><p><b>　　點到距離分別為，。</b></p><p>　　試問：是銳角、鈍角還是直角三角形？</p><p>　　若的面積是240，求的坐標和的方程。</p><p><b>　　?分析與解答：</b></p><p>　?。?）對求導，。設(shè)，由導數(shù)的幾何意義知BC的

30、斜率。由題意知，設(shè)，，則</p><p><b>　　。從而。</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　，再結(jié)合知，故是直角三角形。</p><p>　　由（1），不妨設(shè)C在AD上方，A

31、B的方程為。由得到另一個交點。</p><p>　　AC方程為，由得到另一個交點。</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以，解得，故或。</b></p><p>　　時，，BC的方

32、程為。</p><p>　　時，，BC的方程為。</p><p>　　注：此題的關(guān)鍵是證明。</p><p><b>　　真題訓練</b></p><p>　　1.（2001復旦）拋物線的準線方程為（ ）</p><p>　?。˙） （C） （D）</p>

33、<p>　　2.對于直角坐標平面內(nèi)任意兩點、，定義它們之間的一種“新距離”：</p><p>　　.給出下列三個命題：</p><p>　?、偃酎c在線段上. 則 ；</p><p><b>　　②在中，若,則；</b></p><p><b>　?、墼谥?，。</b></p>

34、<p>　　其中的真命題為 ( )</p><p>　　A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②③ </p><p>　　3.（2012復旦）極坐標方程為常數(shù)）所表示的曲線是（ ）。</p><p>　　圓或直線 （B）拋物線或雙曲線 （C）雙曲線或橢圓

35、 （D）拋物線或橢圓</p><p>　　4.（2010復旦）參數(shù)方程所表示的函數(shù)是（ ）。</p><p>　　圖像關(guān)于原點對稱 （B）圖像關(guān)于直線對稱</p><p>　　（C）周期為的周期函數(shù) （D）周期為的周期函數(shù)</p><p>　　在平面直角坐標系中，定義點之間的“直角距離”為。

36、若到點的“直角距離”相等，其中實數(shù)滿足，則所有滿足條件的點的軌跡的長度之和為。</p><p>　　在平面直角坐標系中，為坐標原點。定義、兩點之間的“直角距離”為。已知，點為直線上的動點， 則的最小值為 。</p><p>　　7.（2012“卓越聯(lián)盟”）如圖，是圓的直徑，于，且，是圓的切線，交于。</p><p>

37、<b>　　求；</b></p><p>　　連結(jié)，判斷與的關(guān)系。并加以證明。</p><p>　　8.（2011“北約”）求過兩拋物線交點的直線方程。</p><p>　　9.（2010同濟）如圖，已知動直線經(jīng)過點，交拋物線于兩點，坐標原點是的中點，設(shè)直線的斜率分別為。</p><p><b>　　證明：；&

38、lt;/b></p><p>　　當時，是否存在垂直于x軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由。</p><p>　　10.（2009上海交大）是圓與上的點，求的最小值。</p><p><b>　　真題訓練答案</b></p><p><b>　　1.【

39、答案】B</b></p><p>　　【分析與解答】：令則原拋物線方程為，其準線方程為，故原拋物線的準線方程為。</p><p><b>　　2.【答案】C</b></p><p><b>　　3.【答案】D</b></p><p>　　【分析與解答】：由知識拓展圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程

40、知：</p><p>　　，。故為橢圓或拋物線（當且僅當時取拋物線）。</p><p><b>　　4.【答案】C</b></p><p><b>　　【分析與解答】：，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　即，故是以為周

41、期的周期函數(shù)。</p><p><b>　　5.【答案】：</b></p><p><b>　　6.【答案】：4</b></p><p>　　7.【分析與解答】：（1）連結(jié)AF、OF，則A、F、G、H四點共圓。且由EF是切線知，。所以</p><p>　　，且（弦切角等于弦所對的圓周角）</p

42、><p><b>　　所以。</b></p><p><b>　　。</b></p><p><b>　　所以。</b></p><p>　　FD與AB不平行（即相交），用反證法。</p><p>　　如圖，以O(shè)為坐標原點，AB所在直線為y軸建立一個平面直角

43、坐標系。</p><p>　　若，則D點的橫坐標等于F點的橫坐標，即4.從而。又，所以EF的斜率為。而。這與是圓的切線矛盾！</p><p>　　8.【分析與解答】：設(shè)交點為，則 </p><p><b>　?、?#215;5+②×2有，</b></p><p>　　同理：。所以都在直線上，而過兩點的

44、直線方程是唯一的。所以所求直線方程為。</p><p>　　9.【分析與解答】：（1）解法一：設(shè)。直線AQ交拋物線于，則直線AQ：</p><p>　　，直線AB：，先將代入中</p><p>　　。所以，同理。所以。所以B與C關(guān)于x軸對稱即</p><p>　　與關(guān)于x軸對稱。所以。</p><p>　　解法二：設(shè)A

45、B：代入中，，</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　因為，所以拋物線為：。那么可設(shè)，又，并可得A、P中點，</p><p>　　，（如圖）則圓的半徑。再設(shè)直線存在且為：。那么要使被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值C；則</p><p>　　即。所以直線存在，為。</p><p

46、>　　10.【分析與解答】：設(shè)圓的圓心為，則。</p><p><b>　　再設(shè)Q點坐標為，則</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而，等號成立，且三點共線，即且三點共線。</p><p><b>　　故的最小值為。</b></p&